Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 18/latex
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In dieser Vorlesung machen wir uns klar, dass das Spektrum einer Hopf-Algebra eine Struktur aufweist, die ähnlich zu einer Gruppe ist, und wir erklären, wie Gruppenoperationen mit Hopfalgebren beschrieben werden können.
\zwischenueberschrift{Affine Gruppenschemata}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $H$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{.}
Dann nennt man das
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{G= \operatorname{Spek} { \left( H \right) }}{} zusammen mit den induzierten
$K$-\definitionsverweis {Morphismen}{}{}
\maabbdisp {\Delta^*} { G \times_K G} {G
} {,}
\maabbdisp {\epsilon^*} { \operatorname{Spek} { \left( K \right) } } { G
} {}
und
\maabbdisp {S^*} {G} {G
} {}
das zugehörige
\definitionswort {affine Gruppenschema}{.}
}
Die Gruppenschemata sind im Allgemeinen keine Gruppen im eigentlichen Sinne, allein schon weil die Primideale, also die Punkte, unterschiedliche Höhe und unterschiedliche Restklassenkörper besitzen. Solche Primideale können nicht sinnvoll miteinander verknüpft werden. Wir werden gleich sehen, dass Punkte, deren Restklassenkörper zusammenpassen, miteinander verknüpft werden können.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$H$ eine kommutative
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( H \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {affine Gruppenschema}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die folgenden Diagramme von
$K$-\definitionsverweis {Morphismen}{}{}
kommutieren:
\mathdisp {\begin{matrix} G \times_K G \times_K G & \stackrel{ \Delta^* \times
\operatorname{Id}_{ G } }{\longrightarrow} & G \times_K G & \\ \!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \times \Delta^* \downarrow & & \downarrow \Delta^* \!\!\!\!\! & \\ G \times_K G & \stackrel{ \Delta^* }{\longrightarrow} & G & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
\mathdisp {\begin{matrix}G & \stackrel{ \operatorname{Id} \times
\zusatzklammer {\epsilon^* \iota^*} {} {} }{\longrightarrow} & G \times_K G & \\ & \!\!\! \!\! \!\!\!\!\!\!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \searrow & \downarrow \Delta^* \!\!\! \!\! & \\ & & \!\!\!\!\! G & \!\!\!\!\! \!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
\mathdisp {\begin{matrix} G & \stackrel{ S^* \times
\operatorname{Id}_{ G } }{\longrightarrow} & G \times_K G & \\ \!\!\!\!\! \iota^* \downarrow & & \downarrow \Delta^* \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! & \\ \operatorname{Spek} { \left( K \right) } & \stackrel{ \epsilon^* }{\longrightarrow} & G & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
} {Für jede kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$L$ ist
\mathl{G(L)}{} mit den induzierten Operationen eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) folgt unmittelbar aus der Kommutativität der entsprechenden Diagramme für die Hopf-Algebra. (2) folgt aus (1) und aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( G \times_K G \right) } (L)
}
{ =} { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( H \otimes_{ K } H,L \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( H ,L \right) } \times \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( H ,L \right) }
}
{ =} {G(L) \times G(L)
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei die mittlere Gleichung auf
Satz 17.5
beruht.
Die vorstehende Aussage erklärt auch teilweise die Bezeichnung Gruppenschema. Einem Gruppenschema ist nicht nur eine Gruppe zugeordnet, sondern gleich eine ganze Familie von Gruppen. Das affine Schema legt dabei die algebraische Struktur der Gruppenverknüpfung fest, während die Anzahl der Elemente in der Gruppe vom gewählten Grundring $K$ abhängt. Wir erläutern das Konzept der $K$-Punkte an einigen Hopf-Algebren.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{(G,1,\cdot)}{} eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Die gemäß
Beispiel 17.8
zugehörige
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
ist einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also das
\mathl{{ \# \left( G \right) }}{-}fache
\definitionsverweis {direkte Produkt}{}{}
von $K$ mit sich selbst. Ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } } {K
} {}
muss
\zusatzklammer {wegen \mathlk{e_\sigma \cdot e_\tau =0}{} für \mathlk{\sigma \neq \tau}{}} {} {}
eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. $\varphi$ muss die Auswertung von
\mathl{f \in \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }}{} an einem Gruppenelement
\mathl{\sigma \in G}{} sein. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } \right) }
}
{ =} { G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Darüber hinaus ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } \right) }
}
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }}{} und ihre zugehörigen $K$-Algebrahomomorphismen
\zusatzklammer {einen Gruppenelement \mathlk{\sigma \in G}{} entspricht die Projektion $p_\sigma$ auf die $\sigma$-Komponente und ihr Kern} {} {.}
Ebenso ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G \times G
}
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( H \right) } \times_K K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( H \right) }
}
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( H \otimes_{ K } H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein Paar
\mathl{{ \left( \sigma, \tau \right) } \in G \times G}{} entspricht dabei dem $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} { H \otimes_{ K } H } { K
} { f_1 \otimes f_2 } { \sigma(f_1) \cdot \tau (f_2)
} {.}
Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation $\mu$ auf $G$ von
\mathkor {} {\sigma} {und} {\tau} {,}
angewendet auf $e_\rho$, ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \mu{ \left( \sigma, \tau \right) } ( e_\rho )
}
{ =} { { \left( { \left( \sigma \otimes \tau \right) } \circ \Delta \right) } ( e_\rho)
}
{ =} { { \left( \sigma \otimes \tau \right) } { \left( \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 = \rho} e_{\rho_1} \otimes e_{\rho_2} \right) }
}
{ =} { \sum_{ \rho_1 \cdot \rho_2 = \rho} \sigma (e_{\rho_1}) \cdot \tau(e_{\rho_2})
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Summanden sind nur dann gleich $1$
\zusatzklammer {andernfalls sind sie $0$} {} {,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\rho_1
}
{ = }{ \sigma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\rho_2
}
{ = }{\tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Daher ist die Summe nur im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho
}
{ =} { \sigma \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich $1$ und sonst gleich $0$. Dies bedeutet wiederum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu( \sigma ,\tau)
}
{ =} { \sigma \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja $\sigma \tau$ ebenfalls genau an
\mathl{e_{\sigma \tau}}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt und die $K$-Algebrahomomorphismen von $H$ nach $K$ auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{H=K[X]}{} der Polynomring versehen mit der in
Beispiel 17.9 eingeführten
\zusatzklammer {additiven} {} {}
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{.}
Zu einer kommutativen
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $L$ haben wir die natürliche Bijektion
\maabbdisp {} {L} { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( H,L \right) }
} {,}
wobei ein Element
\mathl{a\in L}{} auf den
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} abgebildet wird, der durch
\mathl{X \mapsto a}{} festgelegt ist.
Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Addition auf $L$, siehe
Aufgabe 18.1.
Daher nennt man
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[X] \right) }}{} auch die \stichwort {additive Gruppe} {} über $K$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{H=K[X,X^{-1}]=K[X]_X}{} sei mit der in
Beispiel 17.10 eingeführten
\zusatzklammer {multiplikativen} {} {}
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{} versehen. Zu einer kommutativen
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $L$ haben wir die natürliche Bijektion
\maabbdisp {} { L^{\times} } { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( H,L \right) }
} {,}
wobei eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mathl{a \in L^{\times}}{} auf den
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} abgebildet wird, der durch
\mathl{X \mapsto a}{} festgelegt ist. Da $a$ eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf $L^{\times}$, siehe
Aufgabe 18.6.
Daher nennt man
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[X,X^{-1}] \right) }}{} auch die \stichwort {multiplikative Gruppe} {} über $K$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Wir möchten eine
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
konstruieren, derart, dass die Menge ihrer $K$-Punkte mit der induzierten Gruppenstruktur gleich der Gruppe der invertierbaren
\mathl{n \times n}{-}Matrizen
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} über $K$ ist. Eine solche Matrix besteht aus $n^2$ Einträgen, von daher betrachten wir zunächst den Polynomring
\mathdisp {K [X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n]} { . }
Einen $K$-Punkt dieses Ringes, also eine Belegung der Variablen, fassen wir als eine Matrix auf. Die Bedingung, dass die Matrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist, kann man über die Determinante ausdrücken, und zwar muss diese eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $K$ sein. Eine Belegung der Variablen, die einer invertierbaren Matrix entspricht, muss also aufgrund der
universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { K [X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n]_{D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
faktorisieren, wobei $D$ die Determinante in den Variablen
\mathl{X_{ij}}{} bezeichnet.
Wir erklären auf $H$ eine
\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{,}
wobei wir uns von der Gruppenstruktur auf der allgemeinen linearen Gruppe leiten lassen. Die
\definitionsverweis {Komultiplikation}{}{}
wird durch
\maabbeledisp {} {H} {H \otimes_{ K } H
} {X_{ij}} { \sum_{k = 1}^n Y_{ik} \otimes Z_{kj}
} {,}
definiert. Die
\definitionsverweis {Koeinheit}{}{}
wird durch
\mathdisp {\epsilon (X_{ij} ) = \begin{cases}
1 \text{ für } i =j, \\ 0 \text{ sonst,}
\end{cases}} { }
festgelegt, das
\definitionsverweis {Koinverse}{}{}
wird mit Hilfe der
Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { \frac{1}{ \det M } \cdot M^{ \operatorname{adj} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erstellt, wobei die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{}
ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist. Das Koinverse bildet demnach
\mathl{X_{ij}}{} auf den
\mathl{(i,j)}{-}ten Eintrag in der rechten Seite der obigen Formel ab.
}
Gernerell gilt, dass man eine Gruppe, die man allein mit algebraischen \zusatzklammer {polynomialen} {} {} Ausdrücken hinschreiben kann, auch durch eine Hopf-Algebra gewinnen kann.
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {spezielle lineare Gruppe}{}{}
wird als
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} {K[X_{ij},\, 1 \leq i,j \leq n]/(D-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt, wobei $D$ die Determinante in den Variablen
\mathl{X_{ij}}{} bezeichnet. Die Komultiplikation, die Koeinheit und das Koinverse sind wie in
Beispiel 18.6
zu wählen.
}
\zwischenueberschrift{Operationen von affinen Gruppenschemata}
Wir wollen nun auch Gruppenoperationen mit Hopf-Algebren ausdrücken. Dabei wird die Menge, auf der operiert wird, ein Spektrum eines kommutativen Ringes sein. Um die Operation richtig algebraisieren zu können, übersetzen wir die Axiome einer Gruppenoperation in die Sprache der kommutativen Diagramme. Eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$ liegt genau dann vor, wenn die Diagramme \zusatzklammer {es sei $\mu$ die Verknüpfung auf der Gruppe und $\nu$ die Operationsabbildung} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} G \times G \times X & \stackrel{ \mu \times
\operatorname{Id}_{ X } }{\longrightarrow} & G \times X & \\ \!\!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\! \!\!\! \!\!\! \!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \times \nu \downarrow & & \downarrow \nu \!\!\!\!\! & \\ G \times X & \stackrel{ \nu }{\longrightarrow} & X & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{matrix}X & \stackrel{ e \times
\operatorname{Id}_{ X } }{\longrightarrow} & G \times X & \\ & \!\!\! \!\! \operatorname{Id}_{ X } \searrow & \downarrow \nu \!\!\! \!\! & \\ & & X & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $H$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Unter einer \definitionswort {Kooperation}{} von $H$ auf $R$ versteht man einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {N} {R} {H \otimes_{ K } R } {} derart, dass die beiden Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ N }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } R & \\ \!\!\!\!\! \!\! N \downarrow & & \downarrow \Delta \otimes
\operatorname{Id}_{ R } \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\! & \\ H \otimes_{ K } R & \stackrel{ \operatorname{Id}_{ H } \otimes N }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } H \otimes_{ K } R & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{matrix}R & \stackrel{ N }{\longrightarrow} & H \otimes_{ K } R & \\ & \!\!\! \!\! \cong \searrow & \downarrow \epsilon \otimes
\operatorname{Id}_{ R } \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\! \!\! & \\ & & K \otimes_{ K } R & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutieren.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$H$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
und
\mathl{G= \operatorname{Spek} { \left( H \right) }}{} das zugehörige
\definitionsverweis {affine Gruppenschema}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {N} {R} {H \otimes_{ K } R
} {}
eine
\definitionsverweis {Kooperation}{}{}
von $H$ auf einem kommutativen Ring $R$ mit dem
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{X= \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{.} Dann nennt man den zu $N$ gehörenden
$K$-\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {N^*} {G \times_K X = \operatorname{Spek} { \left( H \otimes_{ K } R \right) } } {X
} {}
eine
\zusatzklammer {$K$-algebraische} {} {}
\definitionswort {Operation des affinen Gruppenschemas}{}
$G$ auf $X$.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/L-Punkte/Operation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$H$ eine kommutative
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
und
\mathl{G= \operatorname{Spek} { \left( H \right) }}{} das zugehörige
\definitionsverweis {affine Gruppenschema}{}{.}
Es sei $R$ eine weitere kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine
\definitionsverweis {Kooperation}{}{}
von $H$ und damit eine
\definitionsverweis {Operation}{}{}
von $G$ auf
\mathl{X= \operatorname{Spec} { \left( R \right) }}{} vorliege.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen
\zusatzklammer {dabei ist $\mu= \triangle^*$, $\nu=N^*$ und $j^*$ bezeichnet den Strukturmorphismus
\maabb {} {X} { \operatorname{Spek} { \left( K \right) }
} {}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die folgenden Diagramme von
$K$-\definitionsverweis {Morphismen}{}{}
kommutieren:
\mathdisp {\begin{matrix} G \times_K G \times_K X & \stackrel{ \mu \times
\operatorname{Id}_{ X } }{\longrightarrow} & G \times_K X & \\ \!\!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\! \!\!\! \!\!\! \!\!\! \!\!\! \!\!\!
\operatorname{Id}_{ G } \times \nu \downarrow & & \downarrow \nu \!\! \!\!\! \!\!\!\!\! & \\ G \times_K X & \stackrel{ \nu }{\longrightarrow} & X & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{matrix}X & \stackrel{ { \left( \epsilon^* j^* \right) } \times
\operatorname{Id}_{ X } }{\longrightarrow} & G \times_K X & \\ & \!\!\! \!\! \operatorname{Id}_{ X } \searrow & \downarrow \nu \!\!\! \!\! & \\ & & X & \!\!\!\!\! \!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
} {Für jede kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$L$ liegt eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
von
\mathl{G(L)}{} auf
\mathl{X(L)}{} vor.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies wird ähnlich wie Lemma 18.2 bewiesen.
\inputbeispiel{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$K$ lässt sich die skalare Multiplikation auf dem
\mathl{K^n}{} bzw. auf dem Polynomring
\mathl{R= K[X_1 , \ldots , X_n]}{} folgendermaßen als eine
\definitionsverweis {Kooperation}{}{}
der
\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
\mathl{H= K[U,U^{-1}]}{} zur
\definitionsverweis {multiplikativen Gruppe}{}{} realisieren: Man definiert die Kooperation durch
\maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K[U,U^{-1}] \otimes_{ K } K[X_1 , \ldots , X_n]
} {X_i} { U \otimes X_i
} {.}
Ein
$K$-\definitionsverweis {Punkt}{}{}
von
\mathl{H \otimes_{ K } R}{} ist dabei nach
Satz 17.5
durch einen $K$-Punkt von $H$ und einen $K$-Punkt von $R$ gegeben, also durch eine Einheit
\mathl{t \in K^{\times}}{} und ein $n$-Tupel
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n) \in K^n}{} festgelegt. Dieser wird unter der Kooperation wie gewünscht auf
\mathl{(ta_1 , \ldots , ta_n)}{} abgebildet.
}
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