Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
In dieser Vorlesung möchten wir Monoidringe als Invariantenringe zu einer Gruppenoperation auf einem Polynomring realisieren, wobei wir den Weg über graduierte Ringe beschreiten. Wir zitieren den folgenden Satz, das sogenannte \stichwort {Lemma von Gordan} {,} das eine Beziehung zwischen \zusatzklammer {normalen, torsionsfreien, endlich erzeugten} {} {} Monoiden \zusatzklammer {mit Kürzungsregel} {} {} und endlich erzeugten rationalen konvexen Kegeln stiftet. Ein solcher \zusatzklammer {polyedrischer} {} {} Kegel besteht aus allen Linearkombinationen mit nichtnegativen Koeffizienten zu einer endlichen Familie von Vektoren im $\Q^n$. Er heißt \stichwort {spitz} {,} wenn er abgesehen vom Nullpunkt vollständig in einem Halbraum liegt. Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen \zusatzklammer {auch dies ist ein Satz aus der Theorie der polyedrischen Kegel} {} {.}
\inputfakt{Normales torisches Monoid/Rational-polyedrisch/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es sei
\mathl{M \subseteq \Z^n}{} ein
\definitionsverweis {normales}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugtes}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{}
und
\mathl{C= \Q_{\geq 0} M}{} der zugehörige
\definitionsverweis {rationale Kegel}{}{.}
Dann ist
\mathl{M=\Gamma \cap C}{,} wobei
\mathl{\Gamma \subseteq \Z^n}{} das
\definitionsverweis {Differenzengitter}{}{}
zu $M$ ist.
} {Wenn umgekehrt
\mathl{\Gamma \subseteq \Q^n}{} eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte Untergruppe}{}{}
und
\mathl{C \subseteq \Q^n}{} ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{} \definitionsverweis {rationaler Kegel}{}{}
ist, so ist der Durchschnitt
\mathl{M= \Gamma \cap C}{} ein normales endlich erzeugtes Monoid.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Statt im $\Q^n$ kann man genauso gut im $\R^n$ arbeiten, allerdings wird verlangt, dass die Kegel von Vektoren mit rationalen Koordinaten erzeugt werden.
\zwischenueberschrift{Normale Monoidringe als Invariantenringe}
Wir betrachten auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{}
\definitionsverweis {Graduierungen}{}{,} die aus der
\definitionsverweis {feinen Graduierung}{}{,} bei der die Variable $X_i$ den Grad
\mathl{e_i \in \Z^r}{} bekommt, hervorgehen, indem man einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} {D
} {}
in eine kommutative Gruppe $D$ fixiert
\zusatzklammer {den man als surjektiv voraussetzen darf} {} {.}
Dies ergibt eine $D$-Graduierung des Polynomrings, bei der der Grad der Variable $X_i$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(X_i)
}
{ \defeq} { \delta(e_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} festgelegt ist. Die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{} dieses so graduierten Polynomringes besteht aus den Linearkombinationen aller Monome
\mathl{X_1^{a_1} \cdots X_r^{a_r}}{,} deren Exponententupel
\mathl{{ \left( a_1 , \ldots , a_r \right) } \in \Z^r}{} unter $\delta$ auf
\mathl{0 \in D}{} abgebildet wird. Die neutrale Stufe wird also durch den Kern von $\delta$ vollständig beschrieben. Wenn umgekehrt eine Untergruppe
\mathl{\Delta \subseteq \Z^r}{} gegeben ist, so kann man die Restklassenabbildung
\maabbdisp {} {\Z^r} {\Z^r/\Delta \defeqr D
} {}
betrachten und erhält so einen $D$-graduierten Ring.
\inputfaktbeweis
{Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Für eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$R$}
\faktuebergang {sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$R$ ist ein
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
über $K$ zu einem
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{,}
\definitionsverweis {torsionsfreien}{}{,}
\definitionsverweis {normalen}{}{,}
\definitionsverweis {spitzen}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{}
mit
\definitionsverweis {Kürzungsregel}{}{.}
} {$R$ ist die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
einer
$D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
eines
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{,} wobei die Graduierung durch einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} {D
} {}
gegeben ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[M]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{}
$M$, das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es
nach Satz 9.1 (1)
einen reellen Raum $\R^n$ und einen
\definitionsverweis {spitzen}{}{}
\definitionsverweis {rationalen}{}{}
\definitionsverweis {polyedrischen Kegel}{}{}
\mathl{C \subset \R^n}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Z^n \cap C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {dabei kann man $\Z^n$ als das Differenzengitter zu $M$ wählen} {} {.}
Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen
\mathbed {H_j} {}
{j=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {.}
Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen
\maabbdisp {\pi_j} {\R^n} {\R
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_j
}
{ =} { \pi_j^{-1} (\R_{\geq 0})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
realisieren. Wegen der Rationalität kann man die $\pi_j$ sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von $\Z^n$ nach $\Z$, ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\pi} {\Z^n} {\Z^r
} {,}
der injektiv ist. Wenn nämlich
\mathl{\pi(w)=0}{} ist, so gehört
\mathl{w \in \Z^n \subset \R^n}{} zu jedem der Halbräume $H_j$, und das gleiche gilt für $-w$. Wegen der Spitzheit muss
\mathl{w=0}{} sein. Es sei
\mathl{\Delta=\pi(\Z^n)}{} das Bild in $\Z^r$ und es sei
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} { \Z^r/\Delta \defeqr D
} {}
der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenhomomorphismus}{}{.}
Insgesamt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M
}
{ =} {\Z^n \cap C
}
{ =} {\Z^n \cap \bigcap_{j =1}^r H_j
}
{ =} { { \left\{ { \left( a_1 , \ldots , a_n \right) } \in \Z^n \mid \pi_j { \left( a_1 , \ldots , a_n \right) } \geq 0 \text{ für alle } j \right\} }
}
{ \cong} { { \left\{ { \left( b_1 , \ldots , b_r \right) } \in \Delta \subseteq \Z^r \mid b_j \geq 0 \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left\{ { \left( b_1 , \ldots , b_r \right) } \in \Delta \mid { \left( b_1 , \ldots , b_r \right) } \in \N^r \right\} }
}
{ =} { \N^r \cap \Delta
}
{ =} { \N^r \cap \operatorname{kern} \delta
}
{ } {}
}
{}{.}
Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{,} deren $\delta$-Grad gleich $0$ ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ \cong} { K[\N^r \cap \Delta]
}
{ =} {K[\N^r \cap \operatorname{kern} \delta ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Ring der neutralen Stufe von
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{} unter der durch $\delta$ gegebenen Graduierung.
$(2) \Rightarrow (1)$. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen
$K$-\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung $0$ ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir $M$ nennen. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \Delta \cap \N^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\Delta= \operatorname{kern} \delta \cong \Z^r}{.} Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen
\mathl{M \subseteq \N^r}{} ist das Monoid
\definitionsverweis {spitz}{}{,}
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{}
und genügt der
\definitionsverweis {Kürzungsregel}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Normalität}{}{}
ist ebenfalls klar. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\Delta \cap \N^r
}
{ = }{ \Delta \cap { \left( \R_{\geq 0}^r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt die endliche Erzeugtheit aus
Satz 9.1 (2).
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{k\in \N_+}{} fixiert. Wir betrachten das
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die Vektoren
\mathdisp {(0,1),\, (1,1),\, (2,1) , \ldots , (k-1,1),\, (k,1)} { }
erzgeut wird. Das
\definitionsverweis {Differenzengitter}{}{}
des Monoids ist der umgebende $\Z^2$. Das Monoid kann man auch mit einem
\definitionsverweis {Kegel}{}{}
beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{\pi_1= (1,0)}{} und
\mathl{\pi_2=(-1,k)}{} festgelegten Kegel $C$. Für die Gleichheit
\mathl{M=C \cap \Z^2}{} muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen
\mathl{k +1}{} Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid
\definitionsverweis {normal}{}{.}
Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von
Satz 9.2
beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer
\zusatzklammer {injektiven} {} {}
Abbildung
\maabbdisp {\pi} {\Z^2} {\Z^2
} {}
zusammen, wobei für die Standardvektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(1,0)
}
{ = }{( 1,-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(0,1)
}
{ = }{( 0,k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {die Bilder der erzeugenden Vektoren \mathlk{(j,1)}{} sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi(j,1)
}
{ = }{ (j,k-j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(\Z^2)
}
{ = }{ \Delta
}
{ = }{\langle (1,-1), (0,k) \rangle
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und dies ist auch der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(k)
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(e_1)
}
{ =} {\delta(e_2)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die Graduierung im nächsten Beispiel kam bereits in Lemma 5.4 zum Zuge.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
$\Z$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
\zusatzklammer {aufgefasst als Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {\Z^4} {\Z
} {}} {} {} auf
\mathl{K[U_1,U_2,V_1,V_2]}{,} bei der $U_1,U_2$ den Grad $1$ und $V_1,V_2$ den Grad $-1$ bekommen. Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Graduierung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z^3
}
{ \cong} { \Delta
}
{ \defeq} {\langle \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subset} {\Z^4
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Monoid wird zusätzlich von
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}}{} erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von
Satz 9.2
den Kegel im $\R^3$ beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des $\R^4$ eingeschränkt auf $\R^3$ mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen
\mathdisp {\pi_1= (1,1,0),\, \pi_2=(0,0,1),\, \pi_3=(1,0,1),\, \pi_4 =(0,1,0)} { . }
Die Erzeuger dieses Kegels im $\R^3$ sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} -1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Sie werden durch $\pi$ auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.
}
\inputfaktbeweis
{Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Für eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$R$}
\faktuebergang {sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$R$ ist ein
$K$-\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{,}
\definitionsverweis {torsionsfreien}{}{,}
\definitionsverweis {normalen}{}{,}
\definitionsverweis {spitzem}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{}
mit
\definitionsverweis {Kürzungsregel}{}{.}
}{$R$ ist die
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
einer
$D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
eines
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{,} wobei die Graduierung durch einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} {D
} {}
gegeben ist.
}{$R$ ist der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
einer
\definitionsverweis {treuen Operation}{}{}
$\lambda$ der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathdisp {\mu_{ \ell_1 } { \left( K \right) } \times \cdots \times \mu_{ \ell_a } { \left( K \right) } \times { \left( K^{\times} \right) }^{ b }} { }
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_r]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda (t_1 , \ldots , t_{a+b} , X_i)
}
{ =} { t_1^{d_{i,1} } \cdots t_{a+b}^{d_{i, {a+b} } } X_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{d_{i,j} \in \Z/(\ell_{j})}{} für \mathlk{j \leq a}{} und \mathlk{d_{i,j} \in \Z}{} für \mathlk{j >a}{}} {} {.}
}{$R$ ist der Invariantenring zur
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{}
der Gruppe der
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
\mathdisp {{ \left\{
\begin{pmatrix} t_1^{d_{1,1} } \cdots t_{a+b}^{d_{1, {a+b} } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t_1^{d_{2,1} } \cdots t_{a+b}^{d_{2, {a+b} } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_1^{d_{r, 1} } \cdots t_{a+b}^{d_{r, {a+b} } } \end{pmatrix} \mid t_j^{\ell_j} = 1 \text{ für } 1 \leq j \leq a \right\} }} { }
auf dem $K^{r}$ \zusatzklammer {für gewisse $\ell_j$ für \mathlk{1 \leq j \leq a}{}} {} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus
Satz 9.2.}
{}
\teilbeweis {Von (2) nach (3).\leerzeichen{}}{}{}
{Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \Z/(\ell_1) \times \cdots \times \Z/(\ell_a) \times \Z^b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { D^{ \vee }
}
{ =} { \mu_{ \ell_1 } { \left( K \right) } \times \cdots \times \mu_{ \ell_a } { \left( K \right) } \times { \left( K^{\times} \right) }^{ b }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zur Graduierung
gemäß Lemma 7.9
gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für
\mathl{\chi \in G}{} durch
\mathdisp {X_i \longmapsto \chi ( \delta (e_i)) X_i} { }
festgelegt. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (e_i)
}
{ =} { { \left( \delta_{i, 1} , \ldots , \delta_{i, {a+b} } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\chi
}
{ =} { { \left( t_1 , \ldots , t_{a+b} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {beides entsprechend der Produktzerlegung von $D$ bzw. von \mathlk{D^{ \vee }}{}} {} {}ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi ( \delta (e_i)) X_i
}
{ =} { \chi { \left( \delta_{i, 1} , \ldots , \delta_{i, {a+b} } \right) } X_i
}
{ =} { t_1^{ \delta_{i, 1} } \cdots t_{a+b}^{ \delta_{i, {a+b} } } X_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von
Satz 7.10
erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring.
Nach Lemma 7.9
ist die Operation
\definitionsverweis {treu}{}{.}}
{}
\teilbeweis {(3) nach (2).\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei die Operation mit den Daten
\mathl{d_{i,j}}{} gegebenen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ \defeq} { \Z/(\ell_1) \times \cdots \times \Z/(\ell_a) \times \Z^b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und definieren einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\delta} {\Z^r} {D
} {}
durch
\mathl{e_i \mapsto { \left( d_{i1} , \ldots , d_{i,a+b} \right) }}{.} Die Gruppenoperation der durch $\delta$ gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus
Satz 7.10.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.}
{}
Beispiel 7.12
zeigt, dass man im vorstehenden Satz auf die Voraussetzung der Charakteristik nicht verzichten kann.
\zwischenueberschrift{Veronese-Ringe}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{s \in \N_+}{.} Dann nennt man
\mathdisp {A^{( s )} \defeq \oplus_{n \in \Z} A_{ s n} \subseteq A} { }
den $s$-ten
\definitionswort {Veronese-Ring}{} von $A$.
}
Dabei handelt es sich offenbar um einen Unterring von $A$. Wegen
\mathl{A_0 \subseteq A^{( s )}}{} liegt eine $R$-Unteralgebra vor. Die Veroneseringe kann man selbst $\Z$-graduieren, indem man entweder die Graduierung direkt übernimmt
\zusatzklammer {wobei dann die Stufen, deren Index kein Vielfaches von $s$ ist, gleich $0$ sind} {} {}
oder aber die Graduierung als
\mathl{(A^{( s )})_d \defeq A_{ s d}}{} ansetzt.
\inputfaktbeweis
{Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{s \in \N_+}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthalte.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{A^{( s )}}{}
der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
unter der natürlichen Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/( s ) \right) } ^{ \vee }}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten $A$ als
\mathl{\Z/( s )}{-}graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {\Z} {\Z/( s )
} {.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{A^{( s )}}{} die $0$-te Stufe von $A$ in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus
Korollar 7.11.
\inputfaktbeweis
{Z-graduierter Ring/Erste Stufe erzeugt/Veronesering ebenso/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die von der ersten Stufe $A_1$ erzeugt sei.}
\faktfolgerung {Dann wird der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{A^{( s )}}{}
von der Stufe $A_s$ erzeugt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von
\mathl{A^{( s )}}{} von $A_s$ erzeugt wird. Es sei also
\mathl{f \in A_{ s d}}{.} Nach Voraussetzung ist
\mathl{f = \sum_{\nu \in \N^n} r_\nu x_1^{\nu_1} \cdots x_n^{\nu_n}}{} mit Elementen
\mathl{x_i \in A_1}{} und mit
\mathl{\sum_{i=1}^n \nu_i = s d}{.} Diese Summe kann man in $d$ Teilsummen aufspalten, d.h. man kann
\mathl{x^\nu =x^{\mu_1} \cdots x^{\mu_d}}{} schreiben, wobei die $\mu_j$ jeweils Gradtupel vom Grad $s$ sind.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
und
\mathl{R^{( s )}}{} der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
zu
\mathl{s \in \N_+}{.}
Nach Lemma 7.6
ist
\mathl{R^{( s )} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{.}
Bei
\mathl{s \geq 2}{}
\zusatzklammer {und \mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
gibt es keinen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} {R} {R^{( s )}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \iota
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ R^{( s )} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies liegt daran, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(X_1)
}
{ =} { a_0 + a_s +a_{2 s } + \cdots + a_{r s }
}
{ =} {X_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_{i s } \in R_{i s }}{} keine Lösung besitzt.
}
\zwischenueberschrift{Veronese-Ringe zu Polynomringen}
Wir betrachten nun genauer die Veronese-Ringe zum Polynomring mit der Standardgraduierung.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{s \in \N_+}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{R^{(s)}}{} der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{} zum Monoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ m= (m_1 , \ldots , m_n) \in \N^n \mid \sum_{i= 1}^n m_i \in \N s \right\} }
}
{ \subseteq} {\N^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Wenn $K$ eine $s$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält, so ist dies zugleich der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{} der
\mathl{\mu_{ s } { \left( K \right) }}{} auf dem $K^n$ durch
\definitionsverweis {skalare Multiplikation}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Satz 9.2
zur
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \defeq }{ \Z/(s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{-}Graduierung
\mathdisp {\Z^n \longrightarrow \Z \longrightarrow \Z/(s)} { . }
Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit $\N^n$ bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus
Lemma 9.7.
Die in der letzten Aussage angesprochene Gruppenoperation ist besonders einfach, sie wird linear durch Diagonalmatrizen mit konstanten Einträgen realisiert, die $s$-te Einheitswurzeln sind. Die Determinanten dieser Matrizen sind i.A. nicht $1$, d.h. es handelt sich nicht um eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe. Damit hängt der Umstand zusammen, dass die Veronese-Ringe typischerweise ziemlich viele Gleichungen benötigen, um sie als Restklassenring eines Polynomrings zu beschreiben.
\inputbeispiel{
}
{
Zum Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$ und jedem
\mathl{s \in \N_+}{} ist der $s$-te
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{} isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von $X^{ s }$ über $K$ erzeugten Unterring.
}
\inputbeispiel{
}
{
Zum Polynomring
\mathl{A=K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ und einem
\mathl{s \in \N_+}{} wird der $s$-te
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{} durch die Monome
\mathl{X^{ s },X^{ s-1}Y , \ldots , XY^{ s-1} , Y^{ s }}{} erzeugt. Bei
\mathl{s=2}{} handelt es sich um
\mathdisp {K[X^2,XY,Y^2] \cong K[U,V,W]/(UW-V^2)} { . }
Bei
\mathl{s =3}{} handelt es sich um
\mathdisp {K[X^3,X^2Y,XY^2,Y^3] \cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW - V^2,VZ -W^2 )} { . }
Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist
\mathl{A^{(2)}}{} im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente
\mathl{U,V,W}{} sind
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht prim, und die Gleichung
\mathl{UW=V^2}{} bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.
}
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