Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	3	3	0	3	7	0	0	3	0	6	0	9	0	7	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gruppenisomorphismus.
2. Eine einfache Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Die Charakteristik eines Körpers ${}K$.
4. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern ${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ in einer Körpererweiterung.
6. Eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches ${}R$.
2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über die Quadratur des Kreises.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

${}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$

nicht irreduzibel ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der ${}K$- linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$. Zeige, dass ${}K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf ${}K$ surjektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$ nicht die Form ${}\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$ haben.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 (2+1+1+2+2+1) Punkte)

1. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ zum Polynom ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
2. Was ist der Grad ${}\mathbb {Q} \subseteq L$?
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$. Es gebe eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$ gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$

mit ${}z\in L$ gibt.