Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	0	0	3	3	0	3	7	0	0	3	0	6	0	9	0	7	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gruppenisomorphismus.
2. Eine einfache Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 
3. Die Charakteristik eines Körpers $K$.
4. Ein Primelement $p\in R,p\ne 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
5. Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern  $K\subseteq M_1,M_2\subseteq L$  in einer Körpererweiterung.
6. Eine konstruierbare Zahl $z\in ℂ$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches $R$.
2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
3. Der Satz über die Quadratur des Kreises.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Lemma von Bézout für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^4-2\in \mathbb{Z}/(3)[X]$

nicht irreduzibel ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der $K$-linearen Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:L⟶L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$. Zeige, dass $K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf $K$ surjektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $F\in \mathbb{Q}[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und es sei  $\mathbb{Q}\subseteq L$  eine Körpererweiterung, in der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $L$ nicht die Form $\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$ haben.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 (2+1+1+2+2+1) Punkte)

1. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ zum Polynom  $X^4-7\in \mathbb{Q}[X]$. 
2. Was ist der Grad  $\mathbb{Q}\subseteq L$? 
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei  $K\subseteq ℂ$  ein Unterkörper und  $z\in ℂ$.  Es gebe eine endliche Galoiserweiterung  $K\subseteq M$  mit  $z\in M$,  deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in $ℂ$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

$K=L_0\subset L_1\subset \dots \subset L_r=L$

mit $z\in L$ gibt.