Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 0 3 3 0 3 7 0 0 3 0 6 0 9 0 7 47



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Gruppenisomorphismus.
  2. Eine einfache Körpererweiterung .
  3. Die Charakteristik eines Körpers .
  4. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  5. Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern in einer Körpererweiterung.
  6. Eine konstruierbare Zahl .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches .
  2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
  3. Der Satz über die Quadratur des Kreises.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

nicht irreduzibel ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der -linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form haben.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (9 (2+1+1+2+2+1) Punkte)

  1. Bestimme den Zerfällungskörper zum Polynom .
  2. Was ist der Grad ?
  3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
  4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
  5. Ist die Galoisgruppe abelsch?
  6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Unterkörper und . Es gebe eine endliche Galoiserweiterung mit gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

mit gibt.