Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 20/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Untersuche für jede Filtrierung von mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.
Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.
Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass nicht auflösbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.
Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen
, ,
einfach sind
(das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen
, , nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine alternierende Gruppe mit . Zeige, dass nicht kommutativ ist.
Eine Gruppe heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass perfekt ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 20.9 ändern
Zeige, dass für die Permutationsgruppen auflösbar sind.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine zyklische Gruppe. Zeige, dass genau dann einfach ist, wenn endlich und ihre Ordnung eine Primzahl ist.
Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 20.11 ändern
Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.
Hinweis: Aufgabe 20.11 hilft.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Tipp: Es gibt ein mit .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper. Zeige, dass von
erzeugt wird.
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