Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
Wir interessieren uns für die Frage, wann eine endliche Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {einfach}{}{}
ist, also in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Element
\mathl{x \in L}{} geschrieben werden kann. Antwort gibt der \stichwort {Satz vom primitiven Element} {}
\zusatzklammer {d.h. erzeugenden Element} {} {,}
der besagt, dass dies unter der recht schwachen Voraussetzung der Separabilität der Fall ist.
\zwischenueberschrift{Separable Körpererweiterungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn es über keinem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mehrfache Nullstellen besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$P$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{Es gibt eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ sind
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ erzeugen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Dies folgt aus
Lemma 11.1.
$(2) \Rightarrow (3)$. Nehmen wir an, dass
\mathkor {} {P} {und} {P'} {}
einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in
\mathl{K[X]}{} besitzen. Dies ist dann auch in
\mathl{L[X]}{} der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von $P$ auch ein Teiler von $P'$ ist. Daher besitzen
\mathkor {} {P} {und} {P'} {}
eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt $P$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
$(3) \Rightarrow (4)$. Dies folgt aus
Lemma 3.16.
$(4) \Rightarrow (1)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung, so dass
\mathl{P \in L[X]}{} in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man $1$ in
\mathl{K[X]}{} als Linearkombination von
\mathkor {} {P} {und} {P'} {}
darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf
\mathl{L[X]}{.} Wenn $P$ in $L$ eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der $1$ nicht sein.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn für jedes Element
\mathl{x \in L}{} das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine separable Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.5. }
Unser erstes wichtiges Ziel ist es, zu zeigen, dass eine endliche Körpererweiterung bereits dann separabel ist, wenn die Minimalpolynome zu einem Erzeugendensystem separabel sind.
\inputfaktbeweis
{Endliche einfache Körpererweiterung/Beliebiger Zerfällungskörper/Separabel und maximale Einbettungsanzahl/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[x]
}
{ = }{K(x)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung,
unter der das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$F$ von $x$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$ genau dann ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{,}
wenn es $d$ verschiedene
$K$-\definitionsverweis {Einbettungen}{}{} von $L$ in $M$ gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[x]
}
{ = }{K[X]/(F)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$ mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$F$ gegeben. Dieses Polynom $F$ ist genau dann separabel, wenn es in $M$ genau $d$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß
Satz 6.4
in Bijektion zu den
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach $M$.}
{}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Separable Elemente/Beliebiger Zerfällungskörper/Grad und Einbettungsanzahl/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
\mathl{F_i \in K[X]}{} zu den $x_i$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
sind. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung,
unter der die $F_i$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfallen.}
\faktfolgerung {Dann gibt es $d$ verschiedene
$K$-\definitionsverweis {Einbettungen}{}{}
von $L$ in $M$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über $n$, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Grad der Körpererweiterung gleich $1$ und es gibt auch nur die $K$-Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq} {K'
}
{ =} {K[x_1 , \ldots , x_{n} ]
}
{ \subseteq} { K'[x_{n+1}]
}
{ =} {L
}
}
{}{}{.}
Wir wissen also, dass es
\mathl{\operatorname{grad}_{ K} K'}{} verschiedene $K$-Einbettungen von $K'$ nach $M$ gibt. Aufgrund der
Gradformel
genügt es zu zeigen, dass es für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{ K'[x_{n+1}]
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so viele $K'$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt, wie es der Körpergrad
\mathl{\operatorname{grad}_{ K'} L}{} vorgibt. Es genügt also, den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu beweisen, und dieser folgt aus
Lemma 12.5.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Separables Erzeugendensystem/Separabel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome $F_i$ der $x_i$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann ist die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad $1$ trivial ist. Es sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in K} {}
{} {} {} {,}
mit Minimalpolynom
\mathl{F \in K[X]}{.} Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} { K[x]
}
{ \cong} { K[X]/(F)
}
{ \subseteq} { L
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die
\definitionsverweis {Grade}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_1
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} K[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_2
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K[x]} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{d_1d_2
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körper, über dem $F$ und die $F_i$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( L , M \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K[x] , M \right) }
} {,}
wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach
Lemma 12.6
gibt es $d$ verschiedene
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von $L$ nach $M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[x]
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine separable Körpererweiterung vom Grad $d_2$ und daher gibt es nach
Lemma 12.5
zu jedem fixierten $K$-Algebrahomomorphismus von
\mathl{K[x]}{} nach $M$
genau $d_2$ $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von $\Psi$ ist also stets gleich $d_2$ und somit besitzt das Bild
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( K[x] , M \right) }}{} genau $d_1$ Elemente. Also gibt es $d_1$ $K$-Algebrahomomorphismen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[x]
}
{ \cong }{K[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach $M$ und somit ist $F$, wiederum nach
Lemma 12.5,
ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
\zwischenueberschrift{Der Satz vom primitiven Element}
\inputfaktbeweis
{Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \sum_{j = 0}^k b_jX^{j}
}
{ \in }{ M[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $x$ über $M$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K(b_0 , \ldots , b_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen von der Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ = }{K(b_0 , \ldots , b_k)
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus. Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger $x$, und
\mathl{G \in K'[X]}{} ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in
\mathl{M[X]}{} ist. Somit ist $G$ nach
Lemma 7.12
auch das Minimalpolynom von $x$ über $K'$. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ M[X]/(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K'[X]/(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ M} L
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (G)
}
{ =} { \operatorname{grad}_{ K'} L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach der
Gradformel,
angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K'
}
{ = }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{,}
wenn es nur endlich viele Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\fallunterscheidungzwei {Wenn $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach
Satz 10.5
die Körpererweiterung einfach.}
{Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper
\mathbed {M_i} {}
{i =1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {,}
ist ein maximal
\mathl{(n-1)}{-}dimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {L} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_i(M_i)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu $\varphi_i$ gehört ein lineares Polynom $P_i$
\zusatzklammer {in $n$ Variablen} {} {\zusatzfussnote {Man fixiert hierzu eine $K$-Basis von $L$, die zugehörige Dualbasis entspricht dann den $n$ Variablen. Die folgende Tupelschreibweise bezieht sich ebenfalls auf die Basis} {.} {}}
mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \prod_{i = 1}^k P_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_i
}
{ \neq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $0$. Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach
Aufgabe 12.11
auch Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(a)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {K(x)
}
{ =} {K[x]
}
{ =} {K[X]/(F)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine einfache Körpererweiterung mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in K[X]}{.} Für jeden Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{M(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in
\mathl{M[X]}{} und insbesondere in
\mathl{L[X]}{} ein Teiler von $F$. Nach
Lemma 12.8
besteht die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K(b_0 , \ldots , b_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die $b_j$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in
\mathl{L[X]}{} nur endlich viele
\zusatzklammer {normierte} {} {}
Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.}
\inputfaktbeweis
{Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper über Grundkörper/Einfach/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine einfache Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Satz 12.9,
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz vom primitiven Element} {.}
\inputfaktbeweis
{Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt}
{Satz}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.}
Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein
\mathl{f \in L}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { K(f)
}
{ \cong} { K[X]/(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom
\mathl{P \in K[X]}{.}
}
{
Bei $K$ endlich folgt die Aussage sofort aus
Satz 10.5,
wir können also $K$ als unendlich annehmen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K[x_1,x_2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls separabel. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[x,y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von $x$ und von $y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß
Lemma 12.6
$n$
$K$-\definitionsverweis {Einbettungen}{}{}
\maabbdisp {\sigma_1 , \ldots , \sigma_n} {L} {M
} {.}
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \prod_{i \neq j} { \left( ( \sigma_i(y)- \sigma_j(y) )X + \sigma_i(x)- \sigma_j(x) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das zu
\mathl{M[X]}{} gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich $0$ ist. Daher besitzt $P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da $K$ unendlich ist, ein
\mathl{c \in K}{} mit
\mathl{P(c) \neq 0}{.} Die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma_i( x+cy)
}
{ = }{\sigma_i(x) + c \sigma_i(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind alle verschieden. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma_i(x) + c \sigma_i(y)
}
{ = }{ \sigma_j(x) + c \sigma_j(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ( \sigma_i(y)-\sigma_j(y)) c + \sigma_i(x) - \sigma_j(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $c$ wäre doch eine Nullstelle von $P$. Es gibt also $n$ verschiedene Einbettungen von
\mathl{K(x+cy)}{} nach $M$ und insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} K (x+cy)
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K(x+cy)
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
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