Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Restklassenringe}
Nach
Satz 6.7
ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
eines
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Man kann umgekehrt zu jedem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\zusatzklammer {kommutativen} {} {}
Ring einen Ring
\mathl{R/I}{} konstruieren, und zwar zusammen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {R} {R/I
} {,}
dessen Kern gerade das vorgegebene Ideal $I$ ist. Ideale und Kerne von Ringhomomorphismen sind also im Wesentlichen äquivalente Objekte, so wie das bei Gruppen für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Normalteilern gilt. In der Tat gelten die entsprechenden Homomorphiesätze hier wieder, und können weitgehend auf die Gruppensituation zurückgeführt werden. Wir werden uns bei den Beweisen also kurz fassen können.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+I
}
{ =} { { \left\{ a+f \mid f \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Nebenklasse von}{} $a$ zum Ideal $I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt \definitionswort {Nebenklasse}{} zu $I$.
}
Diese Nebenklassen sind gerade die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
zur
\zusatzklammer {additiven} {} {}
Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die wegen der Kommutativität der Addition ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist. Zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+I
}
{ = }{ b+I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn ihre Differenz
\mathl{a-b}{} zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
dieselbe Nebenklasse \stichwort {repräsentieren} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann ist der \definitionswort {Restklassenring}{}
\mathl{R/I}{} \zusatzklammer {sprich \anfuehrung{R modulo I}{}} {} {}
ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.
\aufzaehlungfuenf{Als Menge ist
\mathl{R/I}{} die Menge der Nebenklassen zu $I$.
}{Durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+I) + (b+I)
}
{ \defeq} { (a+b+I)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird eine Addition von Nebenklassen definiert.
}{Durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+I) \cdot (b+I)
}
{ \defeq} {(a \cdot b+I)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\bar{0}
}
{ = }{ 0+I
}
{ = }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert das neutrale Element für die Addition
\zusatzklammer {die Nullklasse} {} {.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{1}
}
{ = }{1+I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert das neutrale Element für die Multiplikation
\zusatzklammer {die Einsklasse} {} {.}
}
}
Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen
\zusatzklammer {also Addition und Multiplikation} {} {}
wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind. Da $I$ insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe
\mathl{(R,+,0)}{} ist, liegt ein Normalteiler vor, sodass
\mathl{R/I}{} eine Gruppe ist und die Restklassenabbildung
\maabbeledisp {} {R} { R/I
} {a} { a+ I \defeqr \bar{a}
} {,}
ein Gruppenhomomorphismus ist. Das einzig Neue gegenüber der Gruppensituation ist also die Anwesenheit einer Multiplikation. Die Wohldefiniertheit der Multiplikation ergibt sich so: Seien zwei Restklassen gegeben mit unterschiedlichen Repräsentanten, also
\mathkor {} {\overline{ a }\,=\overline{ a' }\,} {und} {\overline{ b }\,=\overline{ b' }\,} {.}
Dann ist
\mathkor {} {a-a' \in I} {und} {b-b' \in I} {}
bzw.
\mathkor {} {a'=a+x} {und} {b'=b+y} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a'b'
}
{ =} { (a+x)(b+y)
}
{ =} { ab+ay+xb+xy
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'b'-ab
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt. Diesen nennt man wieder die
\definitionswortenp{Restklassenabbildung}{} oder den
\definitionswortenp{Restklassenhomomorphismus}{.} Das Bild von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/I}{} wird häufig mit $[a]$, $\bar{a}$ oder einfach mit $a$ selbst bezeichnet und heißt die
\definitionswortenp{Restklasse}{} von $a$. Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf $0$, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.
Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl $a$ den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl $d$ zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen
\mathl{0,1,2 , \ldots , d-1}{.} Im Allgemeinen gibt es nicht immer ein solch übersichtliches Repräsentantensystem.
\zwischenueberschrift{Die Homomorphiesätze für Ringe}
Für Ringe, ihre Ideale und Ringhomomorphismen gelten die analogen Homomorphiesätze wie für Gruppen, ihre Normalteiler und Gruppenhomomorphismen, siehe die fünfte Vorlesung. Wir beschränken uns auf kommutative Ringe.
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R, S} {und} {T} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,}
es sei
\maabb {\varphi} {R} { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
und
\maabb {\psi} {R} {T
} {}
ein surjektiver Ringhomomorphismus.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { T} {S
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{\tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & T & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & S & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 5.10
gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {T} {S
} {,}
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass $\tilde{\varphi}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t,t'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese seien repräsentiert durch
\mathkor {} {r} {bzw.} {r'} {}
aus $R$. Dann wird $tt'$ durch $rr'$ repräsentiert und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (tt')
}
{ =} { \varphi(rr')
}
{ =} { \varphi(r)\varphi(r')
}
{ =} { \tilde{\varphi} (t) \tilde{\varphi} (t')
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (1)
}
{ =} { \tilde{\varphi} (\psi(1) )
}
{ =} { \varphi(1)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt wieder
\definitionswortenp{induzierte Abbildung}{} oder
\definitionswortenp{induzierter Homomorphismus}{} und entsprechend heißt der Satz auch
\stichwort{Satz vom induzierten Homomorphismus}{.}
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Surjektiv und Restklassenring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie von Ringen}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R/ \operatorname{kern} \varphi } {S
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Korollar 5.11 liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Satz 7.3 auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.
\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {R \stackrel{q}{\longrightarrow} R/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} S} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
und $\iota$ die kanonische Inklusion des
\definitionsverweis {Bildes}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es gilt also wieder:
\einrueckung{
\betonung{Bild $=$ Urbild modulo Kern}{.}}
\zwischenueberschrift{Restklassenringe von Hauptidealbereichen}
Da wir nun die Restklassenbildung für kommutative Ringe zur Verfügung haben, kehren wir zu Hauptidealbereichen, insbesondere zu Polynomringen über einem Körper zurück.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$p$ ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}
}
{
Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\zusatzklammer {auch für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
siehe
Aufgabe 7.9,
und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{R/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \notin }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ \subset }{(a,p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $c$ keine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist und $p$ prim
\zusatzklammer {also nach
Lemma 3.10
auch irreduzibel} {} {}
ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und das bedeutet modulo $p$, also in
\mathl{R/(p)}{,} dass $a$ eine Einheit ist. Also ist
\mathl{R/(p)}{} ein Körper.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein Polynom.}
\faktfolgerung {Dann ist $P$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X]/(P)}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jedes irreduzible Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} definiert also eine
\zusatzklammer {endliche} {} {}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{K[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dies wird unsere Hauptkonstruktionsweise für endliche Körpererweiterungen sein.
Für die ganzen Zahlen hat man das entsprechende Resultat.
{Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{$n$ ist eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Dies folgt direkt aus
\zwischenueberschrift{Rechnen in $K[X]/(P)$ }
Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.
\inputfaktbeweis
{Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Rechenregeln
\zusatzklammer {wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Man kann stets $P$ als normiert annehmen
\zusatzklammer {also \mathlk{a_n=1}{;} das werden wir im Folgenden tun} {} {.}
}{In $R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ = }{- \sum_{i = 0}^{n-1} a_ix^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Höhere Potenzen
\mathbed {x^k} {}
{k\geq n} {}
{} {} {} {,}
kann man mit den Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
}{Die Potenzen
$x^0=1,\, x^1$ $, \ldots , x^{n-1}$
bilden eine $K$-Basis von $R$.
}{$R$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$.
}{In $R$ werden zwei Elemente
\mathkor {} {P= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } b_{ i } x^{ i}} {und} {Q= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}} {}
komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(P)
}
{ = }{ { \left( { \frac{ P }{ a_n } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da es bei einem
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
nicht auf eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ankommt.
}{Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von $x$.
}{Dass die Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
D.h., dass das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } X^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt direkt aus (4).
}{Dies ist klar.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {\Q[X]/(X^3+2X^2-5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$. Aufgrund von
Proposition 7.9
besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ax^2 + bx +c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass also ein dreidimensionaler $\Q$-Vektorraum vorliegt. Da
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3
}
{ =} {-2x^2+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergeben sich die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4
}
{ =} {-2x^3+5x
}
{ =} {-2(-2x^2+5) +5x
}
{ =} {4x^2+5x-10
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^5
}
{ =} {-2x^4+5x^2
}
{ =} {-2(4x^2+5x-10) + 5 x^2
}
{ =} {-3x^2 -10x +20
}
{ } {}
}
{}{}{,}
etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.
Berechnen wir nun das Produkt
\mathdisp {(3x^2-2x+4)(2x^2+x-1)} { . }
Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (3x^2-2x+4)(2x^2+x-1)
}
{ =} { 6x^4+3x^3-3x^2 -4x^3-2x^2+2x +8x^2+4x-4
}
{ =} { 6x^4 -x^3 +3x^2+6x-4
}
{ =} { 6(4x^2+5x-10) +2x^2-5+3x^2+6x-4
}
{ =} { 29x^2 +36x-69
}
}
{}
{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Restklassendarstellung von Unteralgebren}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]/(P)} {K[f]
} {X} {f
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Einsetzung
\mathl{X \mapsto f}{} ergibt nach
Satz 6.4
den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X]} {L
} {X} {f
} {.}
Das Bild davon ist genau
\mathl{K[f]}{,} sodass ein surjektiver $K$-Algebrahomomor\-phismus
\maabbdisp {} {K[X]} {K[f]
} {}
vorliegt. Daher gibt es nach
Korollar 7.4
eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
zwischen
\mathl{K[f]}{} und dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach
Lemma 6.12
das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.
\inputfaktbeweis
{Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ über $K$ ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{P_1P_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { P(f)
}
{ =} { P_1(f) P_2(f)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen
\mathkor {} {P} {und} {P_1} {}
den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant
\zusatzklammer {$\neq 0$} {} {,}
also eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
sein.
} {Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $Q$ aufgrund von
Lemma 6.12
ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ GP
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich
\mathkor {sowohl} {P} {als auch} {Q} {}
normiert sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
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