Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen Zeige, dass durch

$\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und sei ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$ und ${}x\in M$. Zeige, dass ${}{\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}$ eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${}\operatorname {ord} _{x}{\sigma }$. Zeige die Beziehung

${}\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}6$. Für welche ${}n\in \mathbb {N}$ lässt sich ${}G$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ realisieren?

Aufgabe *

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass in Lemma 23.1 die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen ${}T_{1},T_{2}$ nicht disjunkt sind, wesentlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe ${}A_{n}\subseteq S_{n}$ für ${}n\geq 3$ eine transitive Untergruppe ist.

Aufgabe

Bestimme für jede Untergruppe ${}G\subseteq S_{4}$ der Permutationsgruppe ${}S_{4}$, ob es sich um eine transitive Untergruppe handelt oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq S_{n}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Zeige, dass ${}G$ genau dann eine transitive Untergruppe ist, wenn es ein Element ${}z\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart gibt, dass es zu jedem Element ${}w\in {\{1,\ldots ,n\}}$ eine Permutation ${}\pi \in G$ mit ${}\pi (z)=w$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq S_{n}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Zeige, dass ${}G$ genau dann keine transitive Untergruppe ist, wenn es eine echte Zerlegung

${}{\{1,\ldots ,n\}}=S\uplus T\,$

derart gibt, dass

${}G\subseteq \operatorname {Perm} \,(S)\times \operatorname {Perm} \,(T)\subseteq S_{n}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq S_{n}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Zeige, dass auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ durch ${}x\sim _{G}y$, falls es ein ${}\pi \in G$ mit ${}\pi (x)=y$ gibt, eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

Aufgabe *

1. Zeige, dass eine transitive Untergruppe ${}G\subseteq S_{n}$ zumindest ${}n$ Elemente besitzt.
2. Zeige, dass es eine transitive Untergruppe ${}G\subseteq S_{n}$ mit genau ${}n$ Elementen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein separables irreduzibles Polynom. Es sei ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$, ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ seine Galoisgruppe und ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$. Nach Lemma 14.2 ist ${}G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass man in Lemma 23.4 auf die Voraussetzung, dass der Grad des Polynoms eine Primzahl ist, nicht verzichten kann.

Aufgabe *

Man gebe ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}4$ an, das in ${}{\mathbb {C} }$ genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ${}S_{4}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine Primzahl, ${}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]$ und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \cap L$. Handelt es sich um eine Galoiserweiterung?

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine Primzahl, ${}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]$ und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{5}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}{\mathbb {C} }$.

1. Zeige, dass

   $\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}{\text{ und }}\prod _{i=1}^{5}\alpha _{i}$

   rationale Zahlen sind.

2. Zeige, dass

   $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}$

   zu ${}L^{A_{n}}$ gehört, aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$.

3. Zeige, dass

   $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}^{2}$

   eine rationale Zahl ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe ${}H\subset S_{n}$ gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.

Aufgabe (3 Punkte)

Eliminiere in ${}X^{5}+a^{2}X^{4}-a$ (mit $a\in \mathbb {Q}$) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad ${}4$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und seien ${}\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen von ${}F$. Zeige, dass die Differenzen ${}\alpha -\beta$ und ${}\beta -\gamma$ nicht beide aus ${}\mathbb {Q}$ sein können.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}{\mathbb {C} }$ nicht die Form ${}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}$ (mit einem ${}\alpha \in {\mathbb {C} }$) haben können.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}4$ gibt, dessen Nullstellen in ${}{\mathbb {C} }$ die Form ${}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ besitzen.