Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 23

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen Zeige, dass durch

mit

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.


Aufgabe

Sei eine endliche Menge und sei eine Permutation auf und . Zeige, dass eine Untergruppe von ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit . Zeige die Beziehung


Aufgabe

Sei eine zyklische Gruppe der Ordnung . Für welche lässt sich als Untergruppe der Permutationsgruppe realisieren?


Aufgabe *

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe

Zeige, dass in Lemma 23.1 die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen nicht disjunkt sind, wesentlich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe für eine transitive Untergruppe ist.


Aufgabe

Bestimme für jede Untergruppe der Permutationsgruppe , ob es sich um eine transitive Untergruppe handelt oder nicht.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe der Permutationsgruppe . Zeige, dass genau dann eine transitive Untergruppe ist, wenn es ein Element derart gibt, dass es zu jedem Element eine Permutation mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe der Permutationsgruppe . Zeige, dass genau dann keine transitive Untergruppe ist, wenn es eine echte Zerlegung

derart gibt, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe der Permutationsgruppe . Zeige, dass auf durch , falls es ein mit gibt, eine Äquivalenzrelation gegeben ist.


Aufgabe *

  1. Zeige, dass eine transitive Untergruppe zumindest Elemente besitzt.
  2. Zeige, dass es eine transitive Untergruppe mit genau Elementen gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein separables irreduzibles Polynom. Es sei der Zerfällungskörper von , seine Galoisgruppe und die Nullstellen von in . Nach Lemma 14.2 ist eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.


Die folgende Aufgabe zeigt, dass man in Lemma 23.4 auf die Voraussetzung, dass der Grad des Polynoms eine Primzahl ist, nicht verzichten kann.

Aufgabe *

Man gebe ein irreduzibles Polynom vom Grad an, das in genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die ist.


Aufgabe

Sei eine Primzahl, und der Zerfällungskörper von . Bestimme den Grad der Körpererweiterung . Handelt es sich um eine Galoiserweiterung?


Aufgabe

Sei eine Primzahl, und der Zerfällungskörper von . Es seien die Nullstellen von in .

  1. Zeige, dass

    rationale Zahlen sind.

  2. Zeige, dass

    zu gehört, aber nicht zu .

  3. Zeige, dass

    eine rationale Zahl ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.


Aufgabe (3 Punkte)

Eliminiere in (mit ) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und seien die Nullstellen von . Zeige, dass die Differenzen und nicht beide aus sein können.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form (mit einem ) haben können.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom vom Grad gibt, dessen Nullstellen in die Form besitzen.



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