Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$, ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(59)$ der Körper mit ${}59$ Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in ${}K$.

b) Berechne in ${}K$ die Zweierpotenzen ${}2^{4}$, ${}2^{8}$ und ${}2^{16}$.

c) Berechne ${}2^{29}$ in ${}K$.

d) Man gebe für jede mögliche (multiplikative) Ordnung in ${}K^{\times }$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einheiten von ${}\mathbb {Z} /(8)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Konstruiere einen Körper ${}{\mathbb {F} }_{9}$ mit ${}9$ Elementen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Es sei ${}a$ die Ordnung von ${}x$ in der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(p),+,0)$ und es sei ${}b$ die Ordnung von ${}x$ in der multiplikativen Gruppe ${}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in der Einheitengruppe ${}\mathbb {Z} /(17)^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung ${}k$ ein Element ${}x\in \mathbb {Z} /(17)^{\times }$, das die Ordnung ${}k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq \mathbb {Z} /(17)^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{9}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie viele primitive Elemente besitzt der Körper mit ${}529$ Elementen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Erweiterung endlicher Körper mit ${}q=p^{e}$ und es sei ${}u$ eine primitive Einheitswurzel von ${}{\mathbb {F} }_{q}$. Was ist die erste Potenz ${}u^{n}$, ${}n\geq 1$, die zu ${}\mathbb {Z} /(p)$ gehört? Ist dieses ${}u^{n}$ ein primitives Element von ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F$ ein Körper mit ${}p^{2}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ und ${}F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Rest von ${}44!$ modulo ${}47$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${}p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.

Zeige insbesondere, dass die Gruppe in der vorstehenden Aufgabe nicht zyklisch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Konstruiere zu einer Primzahl ${}p$ einen Körper mit ${}p^{2}$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 9.22 ändern

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32$ und ${}49$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit ${}9$ Elementen (${}z$ bezeichne die Restklasse von ${}Z$). Führe in ${}\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+(1+2z)X^{3}+zX^{2}+2X+2+z$ und ${}T=(z+1)X^{2}+zX+2$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?