Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 9

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , , , und .


Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe *

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Aufgabe

Sei der Körper mit Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in .

b) Berechne in die Zweierpotenzen , und .

c) Berechne in .

d) Man gebe für jede mögliche (multiplikative) Ordnung in ein Element an, das diese Ordnung besitzt.


Aufgabe

Sei eine ungerade Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Einheiten von .


Aufgabe

Konstruiere einen Körper mit Elementen.


Aufgabe *

Sei eine Primzahl und eine Einheit. Es sei die Ordnung von in der additiven Gruppe und es sei die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe . Zeige, dass und teilerfremd sind.


Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe zu jeder möglichen Ordnung ein Element , das die Ordnung besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

an, die aus vier Elementen besteht.


Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit neun Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe

Wie viele primitive Elemente besitzt der Körper mit Elementen?


Aufgabe *

Es sei eine Erweiterung endlicher Körper mit und es sei eine primitive Einheitswurzel von . Was ist die erste Potenz , , die zu gehört? Ist dieses ein primitives Element von ?


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.


Aufgabe

a) Sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.


Aufgabe *

Sei eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik an, der unendlich viele Elemente besitzt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizen

eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.

Zeige insbesondere, dass die Gruppe in der vorstehenden Aufgabe nicht zyklisch ist.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .


Aufgabe (5 Punkte)

Konstruiere zu einer Primzahl einen Körper mit Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Körper mit Elementen ( bezeichne die Restklasse von ). Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?



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