Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 3

Definition

Seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Definition

Ein Ringisomorphismus (oder Isomorphismus von Ringen) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus.

Definition

Zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Definition

Ein Ringisomorphismus eines Ringes in sich selbst heißt Ringautomorphismus (oder Automorphismus von Ringen).

Lemma

Es seien ${}R,S,T$ Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {id} \,:R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi :R\rightarrow T$ ein Ringhomomorphismus.
3. Ist ${}R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

$\Box$

Lemma

Sei ${}R$ ein Ring und sei ${}\operatorname {End} (R)$ der Endomorphismenring der additiven Gruppe ${}(R,+,0)$.

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow \operatorname {End} (R),\,f\longmapsto (g\mapsto fg).$

Beweis

Für jedes ${}f\in R$ ist die Multiplikation

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft ${}f0=0$ folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung ${}f\mapsto \mu _{f}$ gilt zunächst ${}\mu _{0}=0$ und ${}\mu _{1}=\operatorname {id} =1$. Wegen

${}\mu _{f_{1}+f_{2}}(g)=(f_{1}+f_{2})g=f_{1}g+f_{2}g=\mu _{f_{1}}(g)+\mu _{f_{2}}(g)=(\mu _{f_{1}}+\mu _{f_{2}})(g)\,$

für jedes ${}g\in R$ ist ${}\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus

${}\mu _{f_{1}f_{2}}(g)=f_{1}f_{2}g=\mu _{f_{1}}(f_{2}g)=\mu _{f_{1}}(\mu _{f_{2}}(g))=(\mu _{f_{1}}\circ \mu _{f_{2}})(g)\,.$

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus ${}\mu _{f}=0$ folgt, dass insbesondere ${}f=f1=0$ sein muss.

$\Box$

Lemma

Seien ${}R$ und ${}S$ Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}u\in R^{\times }$ eine Einheit.

Dann ist auch ${}\varphi (u)$ eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

$R^{\times }\longrightarrow S^{\times }.$

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Fakt ***** zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Fakt ***** ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf ${}1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Fakt ***** in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$

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