Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 3
Definition
Ein Ringisomorphismus (oder Isomorphismus von Ringen) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus.
Definition
Zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Definition
Ein Ringisomorphismus eines Ringes in sich selbst heißt Ringautomorphismus (oder Automorphismus von Ringen).
Lemma
Es seien Ringe.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
- Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
- Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.
Beweis
Lemma
Es sei ein Ring und sei der Endomorphismenring der additiven Gruppe .
Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus
Beweis
Für jedes ist die Multiplikation
ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.
Für die Gesamtzuordnung gilt zunächst und . Wegen
für jedes ist additiv. Die Multiplikativität folgt aus
Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus folgt, dass insbesondere sein muss.
Lemma
Seien und Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.
Dann ist auch eine Einheit.
Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus
Beweis
Lemma
Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann ist injektiv.
Beweis
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