Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 3

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Definition  

Seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .

Definition  

Ein Ringisomorphismus (oder Isomorphismus von Ringen) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus.



Definition  

Zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.


Definition  

Ein Ringisomorphismus eines Ringes in sich selbst heißt Ringautomorphismus (oder Automorphismus von Ringen).



Lemma

Es seien Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
  2. Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
  3. Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.




Lemma  

Sei ein Ring und sei der Endomorphismenring der additiven Gruppe .

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

Beweis  

Für jedes ist die Multiplikation

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung gilt zunächst und . Wegen

für jedes ist additiv. Die Multiplikativität folgt aus

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus folgt, dass insbesondere sein muss.




Lemma

Seien und Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.

Dann ist auch eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

Beweis

Das ist trivial.





Lemma  

Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist injektiv.

Beweis  

Es genügt nach Fakt ***** zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ist. Nach Fakt ***** ist der Kern ein Ideal. Da die auf geht, ist der Kern nicht ganz . Da es nach Fakt ***** in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.



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