Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 3

Ringhomomorphismen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Definition

Ein Ringisomorphismus (oder Isomorphismus von Ringen) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus.

Definition

Zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Definition

Ein Ringisomorphismus eines Ringes in sich selbst heißt Ringautomorphismus (oder Automorphismus von Ringen).

Lemma

Es seien ${}R,S,T$ Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon R\longrightarrow T$

   ein Ringhomomorphismus.

3. Ist  ${}R\subseteq S$  ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 3.1.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Ring und sei ${}\operatorname {End} (R)$ der Endomorphismenring der additiven Gruppe ${}(R,+,0)$.

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow \operatorname {End} (R),\,f\longmapsto (g\mapsto fg).$

Beweis

Für jedes  ${}f\in R$  ist die Multiplikation

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft  ${}f0=0$  folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung ${}f\mapsto \mu _{f}$ gilt zunächst  ${}\mu _{0}=0$  und  ${}\mu _{1}=\operatorname {id} =1$.  Wegen

${}\mu _{f_{1}+f_{2}}(g)=(f_{1}+f_{2})g=f_{1}g+f_{2}g=\mu _{f_{1}}(g)+\mu _{f_{2}}(g)=(\mu _{f_{1}}+\mu _{f_{2}})(g)\,$

für jedes  ${}g\in R$  ist ${}\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus

${}\mu _{f_{1}f_{2}}(g)=f_{1}f_{2}g=\mu _{f_{1}}(f_{2}g)=\mu _{f_{1}}(\mu _{f_{2}}(g))=(\mu _{f_{1}}\circ \mu _{f_{2}})(g)\,.$

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus  ${}\mu _{f}=0$  folgt, dass insbesondere  ${}f=f1=0$  sein muss.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Es sei  ${}u\in R^{\times }$  eine Einheit.

Dann ist auch ${}\varphi (u)$ eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

$R^{\times }\longrightarrow S^{\times }.$

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Algebren

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring ${}R[X]$ eine ${}R$-Algebra, indem man die Elemente aus ${}R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine ${}\mathbb {Z}$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \longrightarrow R$, ${}n\longmapsto n_{R}$.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring ${}R$ ein Körper ${}K$ ist. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass ${}\mathbb {Q}$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$, gegeben ist. Dann ist ${}L$ über die Inklusion direkt eine ${}\mathbb {Q}$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein ${}\mathbb {Z}$-Algebrahomomorphismus, da es zu jedem Ring ${}A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow A$ gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring ${}R[X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere ${}R$-Algebra ${}A$ mit einem fixierten Element  ${}a\in A$  vorliegt und dass dann durch ${}X\mapsto a$ ein ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R[X]\rightarrow A$ definiert wird.

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}R$- Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra. Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Man kann diese ${}R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${}A$ charakterisieren, der sowohl ${}R$ als auch die ${}f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${}K$-Algebren in einer Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${}K[f]$, und diese ${}K$-Algebra besteht aus allen ${}K$-Linearkombinationen von Potenzen von ${}f$. Dies ist das Bild unter dem durch ${}X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${}L$ betrachten, der sowohl ${}K$ als auch eine Elementfamilie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, enthält. Dieser wird mit ${}K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${}f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist  ${}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$  und insbesondere  ${}K[f]\subseteq K(f)$. 

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 44.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass  ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$.  ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt für  ${}m,n\geq 0$  aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige ${}m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.

$\Box$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$.

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft  ${}n\cdot 1_{R}=0$.  Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Wichtige Ringe wie ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ besitzen die Charakteristik ${}0$, die Restklassenringe ${}d$ besitzen die Charakteristik ${}d$. Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes ${}1_{R}$ in der additiven Gruppe ${}(R,0,+)$ (allerdings entspricht die Ordnung ${}\infty$ der Charakteristik ${}0$). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

Beweis

Die Charakteristik sei  ${}n>0$   und es sei angenommen, dass ${}n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung  ${}n=ab$  mit kleineren Zahlen  ${}0<a,b<n$  besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist  ${}n_{R}=0$  in ${}R$ und ${}n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 3.11 ist  ${}a_{R}b_{R}=n_{R}=0$,  sodass, weil ${}R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von ${}n$.

$\Box$

Der Einsetzungshomomorphismus

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und  ${}a\in A$  ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit  ${}\psi (X)=a$  und mit  ${}\psi \circ i=\varphi$,  wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom  ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$  auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit  ${}\psi \circ i=\varphi$.  müssen die Konstanten  ${}c\in R$  auf ${}\varphi (c)$ und ${}X$ auf ${}a$ gehen. Daher muss ${}X^{j}$ auf ${}a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

$\Box$

Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei  ${}r\in R$  ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow R$

mit  ${}\psi (X)=r$  und mit  ${}\psi \circ i=\varphi$,  wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom  ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$  auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 3.14.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei  ${}Y=aX+b$,  wobei ${}a$ eine Einheit in ${}R$ sei.

Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R[X]\longrightarrow R[X],\,X\longmapsto aX+b.$

Beweis

Die Einsetzungshomomorphismen zu ${}X\mapsto aX+b$ und ${}X\mapsto a^{-1}X-a^{-1}b$ definieren aufgrund von Satz 3.14 jeweils einen Ringhomomorphismus ${}\psi$ und ${}\varphi$ von ${}R[X]$ nach ${}R[X]$, die wir hintereinander schalten:

$R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].$

Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus ${}R$ unverändert, und die Variable ${}X$ wird insgesamt auf

${}a(a^{-1}X-a^{-1}b)+b=aa^{-1}X-aa^{-1}b+b=X\,$

geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Satz 3.14 die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.

$\Box$

Der Frobenius

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$

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