Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 2 1 5 3 6 4 6 1 6 4 4 6 7 65



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  2. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  3. Eine Diagonalmatrix.
  4. Isomorphe Vektorräume.
  5. Die Spur zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
  2. Der Satz über das Signum und Transpositionen.
  3. Das Lemma von Bezout für Polynome.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Es sei . Zeige .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional und eine Basis von sei. Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach . Zeige, dass die Abbildung

ein Isomorphismus von -Vektorräumen ist.


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Aufgabe (1 Punkt)

Permutation8.png

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten in die beiden Hauptideale und . Zeige, dass der Durchschnitt

gleich dem Hauptideal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.