Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	4	2	2	9	2	6	4	7	5	3	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

f\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung mit dem Graphen ${}\Gamma _{f}\subseteq L\times M$ . Zeige, dass die Abbildung

\psi =\operatorname {Id} _{L}\times f\colon L\longrightarrow L\times M,\,x\longmapsto (x,f(x)),

eine Bijektion zwischen ${}L$ und dem Graphen ${}\Gamma _{f}$ induziert. Was ist die Verknüpfung von ${}\psi$ mit der zweiten Projektion

p_{2}\colon L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

{}5x+ay+(1-a)z=0\,,

{}2ax+a^{2}y+3z=0\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Teilmenge

{}T={\left\{{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\mid a_{11}\leq a_{22}\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {R} )\,,

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$ -Tupeln der Länge ${}9$ . Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$ ?

Aufgabe * (9 (1+1+6+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	11	5	3
${}P_{2}$	8	4	6
${}P_{3}$	7	30	1
${}P_{4}$	12	0	15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}8$	${}5$	${}7$	${}4$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}8$	${}15$	${}7$

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt ${}P_{2}$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ${}P_{3}$ ?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ und ${}{\mathfrak {z}}=z_{1},\ldots ,z_{m}$ Basen von ${}W$ . Es seien ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis ${}(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,w_{1}),\ldots ,(0,w_{m})$ zur Basis ${}(u_{1},0),\ldots ,(u_{n},0),(0,z_{1}),\ldots ,(0,z_{m})$ vom Produktraum ${}V\times W$ beschrieben?

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass die Determinante

\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ , für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichung

{}\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ .

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

Zeige, dass die Polynomfunktionen
$\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.
Zeige, dass die Exponentialfunktionen
$\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die beiden Matrizen

M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{  und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}

zueinander ähnlich sind.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ${}V$ ist, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ ein affines Erzeugendensystem von ${}V$ ist.