Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	4	2	2	9	2	6	4	7	5	3	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Familie von Mengen.
2. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
3. Eine Projektion von einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$.
4. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

   ${}U\subseteq V\,$

   in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
2. Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.
3. Der Satz über die Dimension der Haupträume.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung mit dem Graphen ${}\Gamma _{f}\subseteq L\times M$. Zeige, dass die Abbildung

$\psi =\operatorname {Id} _{L}\times f\colon L\longrightarrow L\times M,\,x\longmapsto (x,f(x)),$

eine Bijektion zwischen ${}L$ und dem Graphen ${}\Gamma _{f}$ induziert. Was ist die Verknüpfung von ${}\psi$ mit der zweiten Projektion

$p_{2}\colon L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y?$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

${}5x+ay+(1-a)z=0\,,$

${}2ax+a^{2}y+3z=0\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

${}T={\left\{{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\mid a_{11}\leq a_{22}\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {R} )\,,$

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$. Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe * (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	11	5	3
${}P_{2}$	8	4	6
${}P_{3}$	7	30	1
${}P_{4}$	12	0	15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}8$	${}5$	${}7$	${}4$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}8$	${}15$	${}7$

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt ${}P_{2}$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ${}P_{3}$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ und ${}{\mathfrak {z}}=z_{1},\ldots ,z_{m}$ Basen von ${}W$. Es seien ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis ${}(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,w_{1}),\ldots ,(0,w_{m})$ zur Basis ${}(u_{1},0),\ldots ,(u_{n},0),(0,z_{1}),\ldots ,(0,z_{m})$ vom Produktraum ${}V\times W$ beschrieben?

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichung

${}\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

   $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

   mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.

2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

   $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

   mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

$M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

zueinander ähnlich sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ${}V$ ist, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ ein affines Erzeugendensystem von ${}V$ ist.