Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 3 4 2 2 9 2 6 4 7 5 3 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Familie von Mengen.
  2. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  3. Eine Projektion von einem -Vektorraum auf einen Untervektorraum .
  4. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

    in einem -Vektorraum .

  5. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.
  3. Der Satz über die Dimension der Haupträume.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung mit dem Graphen . Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion zwischen und dem Graphen induziert. Was ist die Verknüpfung von mit der zweiten Projektion


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von -Tupeln der Länge . Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Aufgabe * (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

11 5 3
8 4 6
7 30 1
12 0 15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es seien und die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis zur Basis vom Produktraum beschrieben?


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für die Gleichung


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ist, wenn die Familie ein affines Erzeugendensystem von ist.