Kurs:Lineare Algebra/Teil I/36/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	7	2	0	0	3	8	0	4	2	3	4	0	3	0	0	44

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\colon M\longrightarrow L,$

   die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

2. Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit

   $x\circ e=x=e\circ x$

   gilt.

3. Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   gibt.

4. Die Abbildung

   $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

   heißt die duale Abbildung zu ${}\varphi$.

5. Das Polynom

   ${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

   heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

6. Eine quadratische Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$

   wobei die ${}J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen.
3. Der Satz über die jordansche Normalform.

Lösung

1. Unter den gegebenen Bedingungen besitzt ${}V$ eine endliche Basis.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

   $\varphi :U\rightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\rightarrow W$

   lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung

   $\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung.

3. Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform

   besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Lösung

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

1. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
2. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?

Lösung

1. Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht ${}X$ besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
2. Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts ${}X$ und aus einem Individuum des Geschlechts ${}Y\neq X$. Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht ${}Z$ und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
3. Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
4. Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind ${}A,A,A$ oder ${}B,B,B$ oder ${}C,C,C$ und die Periodenlänge ist ${}1$. Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also ${}A,B,C$ vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu ${}A,B,C$ und die Periodenlänge ist ebenfalls ${}1$. Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir ${}X,X,Y$, so wird daraus ${}X,Z,Z$ und daraus ${}Y,Y,Z$ und daraus ${}X,X,Y$. Die Periodenlänge ist also ${}3$. Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit ${}A,A,B$ (mit $A,C,C$ und $B,B,C$) und die mit ${}A,B,B$ (mit $B,C,C$ und $A,A,C$).

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form ${}n^{2}$ und ${}(n+1)^{2}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$. Ihre Differenz ist

${}(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1\,.$

Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl ${}u$ als ${}u=2n+1$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass ${}u$ die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Lösung

Es seien ${}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von ${}V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${}{\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${}{\mathfrak {u}}$ ergibt sich ${}k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${}n\leq k$, also insgesamt ${}n=k$.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

Lösung

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben (wobei ${}s_{i}=0$ für fast alle ${}i\in I$ ist) und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft ${}f(v_{i})=w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 10.21 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k}\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (i)-\pi (j)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k},\end{aligned}}$

da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.

Aufgabe (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}&=-5{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{3}-{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{2}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left({\sqrt {2}}^{3}+3{\sqrt {2}}^{2}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {3}}^{3}\right)}-{\left({\sqrt {2}}^{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}^{2}\right)}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(2{\sqrt {2}}+6{\sqrt {3}}+9{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)}-{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3\right)}+2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)}-3-2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-55{\sqrt {2}}-45{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}-3+{\sqrt {5}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Lösung

Es seien

${}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$

und

${}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

mit ${}a_{n},b_{m}\neq 0$, also ${}n=\operatorname {grad} \,(P)$ und ${}m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei ${}m\neq n$ ist ${}\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei ${}m=n$ ist bei ${}a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${}0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ***** ist ${}a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist ${}a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${}PQ$, dessen Grad somit gleich ${}n+m$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ von minimalem Grad mit

$f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.$

Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad ${}\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz

${}f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt ${}d=0$ gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

${}a+b+c=1\,,$

${}8a+4b+2c=3\,,$

${}27a+9b+3c=6\,.$

${}II-2I$ ergibt

${}6a+2b=1\,$

und ${}III-3I$ ergibt

${}24a+6b=3\,$

bzw.

${}8a+2b=1\,.$

Daraus folgt ${}a=0$ und ${}b={\frac {1}{2}}$ und damit auch ${}c={\frac {1}{2}}$. Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also

${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme zur reellen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&5&2&4\\0&3&6&-1\\0&0&3&2\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\,$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Lösung

Es ist

${}N={\begin{pmatrix}3&5&2&4\\0&3&6&-1\\0&0&3&2\\0&0&0&3\end{pmatrix}}-3E_{4}={\begin{pmatrix}0&5&2&4\\0&0&6&-1\\0&0&0&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Das Element ${}e_{1}$ gehört zum Kern. Die ${}3\times 3$-Untermatrix rechts oben hat eine Determinante ${}\neq 0$ und somit hat die Matrix ${}N$ den Rang ${}3$ und der Kern ist eindimensional. In diesem Fall wachsen die Kerne zu ${}M^{i}$ jeweils um eine Dimension und daher ist

${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

die jordansche Normalform von ${}M$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung