Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	1	3	4	8	5	6	7	6	3	1	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay ${}4$ Stunden (in Paraguay wurde es ${}4$ Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von ${}2$ auf ${}3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

{}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

{}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

(1,0,0)

als Linearkombination der Vektoren

(1,-2,5),(4,0,3){\text{ und }}(2,1,1)

aus.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

{}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

{}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

a) Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}d$ . Wie viele Elemente besitzt ${}V$ ?

b) Zeige, dass ein ${}K$ - Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein ${}d$ -dimensionaler ${}K$ -Vektorraum?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

die durch die Matrix ${}M={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}$ (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ .

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${}{V}^{*}$ die Gleichheit

{}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ mit dem Minimalpolynom ${}P\in K[X]$ . Es sei

{}P=F_{1}\cdots F_{k}\,

eine Faktorzerlegung in Polynome ${}F_{i}$ von positivem Grad. Zeige, dass ${}F_{i}(M)$ nicht bijektiv ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen ${}n\times n$ - Matrizen ${}M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

{}\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.

Nach Definition ist nämlich

{}\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ . Zeige die folgenden Identitäten in ${}V$ .

${}{\overrightarrow {PP}}=0$ für ${}P\in E$ .
${}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für ${}P,Q\in E$ .
${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für ${}P,Q,R\in E$ ,