Kurs:Lineare Algebra/Teil II/17/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 0 4 4 0 3 0 0 0 5 0 2 7 5 0 5 45



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Vektorraum.
  2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  5. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

    für .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
  2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktionen

mit

zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils ein Eckpunkt und der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben.

  1. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in .
  2. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der -Achse.
  3. Ein gleichseitiges Dreieck.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (5 (2+1+2) Punkte)

Für reelle Zahlen setzen wir , wenn es rationale Zahlen mit derart gibt, dass

ist.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu .
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter äquivalent sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Red Tearshape.svg

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe einer Träne in der Ebene.


Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass für jeden Vektor die Abschätzung

    genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

    gilt.

  2. Zeige, dass , wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein , das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

Bestimme das minimale derart, dass in der -ten Potenz die Differenz der ersten zur zweiten Spalte bezüglich der Maximumsnorm des ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.