Kurs:Lineare Algebra/Teil II/18/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 3 1 0 2 0 0 4 3 5 5 0 0 2 3 40



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum über mit einem Skalarprodukt .
  2. Eine lineare Isometrie zwischen -Vektorräumen und mit Skalarprodukt.
  3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Eine Untergruppe in einer Gruppe .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von -Vektorräumen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
  3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein normierter -Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei der Kreis in mit Mittelpunkt und dem Radius . Es sei ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen und , und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.


Aufgabe * (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um Grad, von der Drehung um Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Diedergruppen , , nicht kommutativ sind.


Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei ein Körper, der Polynomring in der einen Variablen über und der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf definieren wir die Relation

wenn es Polynome und vom gleichen Grad mit

gibt.

  1. Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
  2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu .
  3. Es seien Polynome . Zeige, dass

    genau dann gilt, wenn

  4. Zeige, dass jedes , , einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form mit besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Tred-G.svg

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass die -lineare Abbildung

bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.