Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 5/kontrolle

Der Körper $ℚ [\sqrt{3}]$ besteht aus allen reellen Zahlen der Form $a + b \sqrt{3}$ mit $a, b \in ℚ$ . Das inverse Element zu $a + b \sqrt{3} \neq 0$ ist $\frac{a}{a^{2} + 3 b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + 3 b^{2}} \sqrt{3}$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper $K = ℚ [\sqrt{3}]$ :

(\begin{matrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ \frac{1}{2} & - 2 - 3 \sqrt{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - \sqrt{3} \\ 4 - 2 \sqrt{3} \end{matrix}) .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} 4 x + 7 y + 3 z & = & 4 \\ 11 x + 9 y + 13 z & = & 9 \\ 6 x + 8 y + 5 z & = & 2 \end{matrix}

mit dem Einsetzungsverfahren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} 5 x + 6 y + 2 z & = & 6 \\ 4 x + 8 y + 9 z & = & 5 \\ 11 x + 5 y + 7 z & = & 8 \end{matrix}

mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I, II, III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Aus den Rohstoffen $R_{1}, R_{2}$ und $R_{3}$ werden verschiedene Produkte $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	$R_{1}$	$R_{2}$	$R_{3}$
$P_{1}$	$6$	$2$	$3$
$P_{2}$	$4$	$1$	$2$
$P_{3}$	$0$	$5$	$2$
$P_{4}$	$2$	$1$	$5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$
	$6$	$4$	$7$	$5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	$R_{1}$	$R_{2}$	$R_{3}$
	$12$	$9$	$13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

D = (\begin{matrix} d_{11} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & d_{n - 1 n - 1} & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & d_{n n} \end{matrix})

eine Diagonalmatrix und $c = (\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix})$ ein $n$ -Tupel über einem Körper $K$ , und es sei $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

D x = c,

und wie löst man es?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse die linearen Gleichungssysteme

(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 9 \end{matrix}), (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{3} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix})

simultan.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

x \geq 0,

y \geq 0,

x + y \leq 1,

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

a_{1} x + b_{1} y \geq c_{1},

a_{2} x + b_{2} y \geq c_{2},

a_{3} x + b_{3} y \geq c_{3},

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?

Aufgabe * Aufgabe 5.17 ändern

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} x & + 2 y & + 3 z & + 4 w & = & 1 \\ 2 x & + 3 y & + 4 z & + 5 w & = & 7 \\ x & + z & = & 9 \\ x & + 5 y & + 5 z & + w & = & 0 . \end{matrix}

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte im $ℝ^{3}$ die beiden Ebenen

E = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ 3 x + 4 y + 5 z = 2} und F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ 2 x - y + 3 z = - 1} .

Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$ .

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $ℝ^{3}$ , auf der die drei Punkte

(1, 0, 2), (4, - 3, 2) und (2, 1, - 1)

liegen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} 2 x - a y & = & - 2 \\ a x + 3 z & = & 3 \\ - \frac{1}{3} x + y + z & = & 2 \end{matrix}

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von $a \in ℝ$ . Für welche $a$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?