Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 4

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

$2x+3y=7\text{ und }5x+4y=3.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

$3x=5$

für die folgenden Körper $K$:

a) $K=\mathbb{Q}$,

b) $K=ℝ$,

c) $K=\{0,1\}$, der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel *****,

d) $K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel *****.

Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt. Eine komplexe Zahl hat die Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$. Bei der Multiplikation rechnet man $i\cdot i=-1$. Die inverse komplexe Zahl zu $a+bi\ne 0$ ist $\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$.

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

$(2+5\mathrm{i})z=(3-7\mathrm{i})$

über $ℂ$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe *

Zwei Personen, $A$ und $B$, liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

Aufgabe

In einer Familie leben $M,P,S$ und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie $S$ und $T$ zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe der Alter aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen $\mathrm{2,50}$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen $\mathrm{2,30}$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccccc}Z& E& I& L& E\\ R& E& I& H& E\\ H& O& R& I& Z\\ O& N& T& A& L\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}S& E& I\\ P& V& K\\ A& E& A\\ L& R& A\\ T& T& L\end{array}\right).$

Unter dem $i$-ten Standardvektor der Länge $n$ versteht man den Vektor, der an der $i$-ten Stelle eine $1$ und sonst nur Nullen stehen hat.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_i\circ e_j,$

wobei links der $i$-te Standardvektor (der Länge $n$) als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge $n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt $M{e}_j$ mit dem $j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_{i}M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccc}2-\mathrm{i}& -1-3\mathrm{i}& -1\\ \mathrm{i}& 0& 4-2\mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ 1-\mathrm{i}\\ 2+5\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccc}2+\mathrm{i}& 1-\frac{1}{2}\mathrm{i}& 4\mathrm{i}\\ -5+7\mathrm{i}& \sqrt{2}+\mathrm{i}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5+4\mathrm{i}& 3-2\mathrm{i}\\ \sqrt{2}-\mathrm{i}& e+\pi \mathrm{i}\\ 1& -\mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ 2-3\mathrm{i}\end{array}\right)$

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 3& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

die Potenzen

$M^i,i=1,\dots ,4.$

Aufgabe

Es sei

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{d}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& d_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe $DM$ und $MD$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n,p\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien $A,B\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$, $C\in {\mathrm{Mat}}_{n\times p}(K)$ und $s\in K$).

1.  $(A^{\text{tr}}{)}^{\text{tr}}=A$. 
2.  $(A+B{)}^{\text{tr}}=A^{\text{tr}}+B^{\text{tr}}$. 
3.  $(sA{)}^{\text{tr}}=s\cdot A^{\text{tr}}$. 
4.  $(A\circ C{)}^{\text{tr}}=C^{\text{tr}}\circ A^{\text{tr}}$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$

über dem Körper  $K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$  aus Beispiel 3.9.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccc}3-2\mathrm{i}& 1+5\mathrm{i}& 0\\ 7\mathrm{i}& 2+\mathrm{i}& 4-\mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-2\mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}& 2+3\mathrm{i}\\ 5-7\mathrm{i}& 2-\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

$M=\left(\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ 0& 0& d& e\\ 0& 0& 0& f\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

über einem Körper $K$. Zeige, dass die vierte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also

$M^4=MMMM=0.$

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix, $B$ eine $n\times p$-Matrix und $C$ eine $p\times r$-Matrix über $K$. Zeige, dass  $(AB)C=A(BC)$  ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $n\in \mathbb{N}$.  Finde und beweise eine Formel für die $n$-te Potenz der Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right).$