Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\epigraph { Wege entstehen dadurch, dass man sie geht } { Franz Kafka }
\zwischenueberschrift{Invertierbare Matrizen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann heißt $M$ \definitionswort {invertierbar}{,} wenn es eine weitere Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {inverse Matrix}{} von $M$. Man schreibt dafür
\mathdisp {M^{-1}} { . }
} Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die Menge aller
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit Einträgen in $K$ die
\definitionswort {allgemeine lineare Gruppe}{}
über $K$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Zwei quadratische Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M,N
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {ähnlich}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ B N B^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Nach Korollar 11.11 sind zu einer linearen Abbildung \maabb {\varphi} {V} {V } {} die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.
\zwischenueberschrift{Eigenschaften von linearen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}{$\varphi$ ist genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^m$ bilden.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $K^m$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Basen von
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {}
und es seien
\mathl{s_1 , \ldots , s_n}{} die Spaltenvektoren von $M$. \teilbeweis {}{}{}
{(1). Die Abbildung $\varphi$ hat die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_{ij}}{} der $i$-te Eintrag des $j$-ten Spaltenvektors $s_j$ ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij } w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist genau dann $0$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist, und dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_js_j
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dafür gibt es ein nichttriviales
\zusatzklammer {Lösungs} {-} {}Tupel
\mathl{{ \left( a_1 , \ldots , a_n \right) }}{} genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ nicht trivial ist. Dies ist gemäß
Lemma 11.3
äquivalent dazu, dass $\varphi$ nicht injektiv ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Siehe
Aufgabe 12.2.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so gibt es die
\zusatzklammer {lineare} {} {}
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}}{} mit
\mathdisp {\varphi \circ \varphi^{-1} =
\operatorname{Id}_{ W } \text{ und } \varphi^{-1} \circ \varphi =
\operatorname{Id}_{ V }} { . }
Es sei $M$ die Matrix zu $\varphi$ und $N$ die Matrix zu $\varphi^{-1}$. Die Matrix zur Identität ist die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}
Nach
Lemma 11.9
ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \circ N
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} {N \circ M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $M$ invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.}
{}
\zwischenueberschrift{Elementarmatrizen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ \definitionswort {elementare Zeilen\-umformungen}{.}
\aufzaehlungdrei{Vertauschung von zwei Zeilen.
}{Multiplikation einer Zeile mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen \definitionswort {Elementarmatrizen}{.}
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$.
}{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$.
}{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$.
}
}
Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{ij}
}
{ =} {
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\\ \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots
\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0
\\ \vdots & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & \cdots & \vdots
\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0
\\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots
\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_k(s)
}
{ =} {\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\\ 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0
\\ 0 & \cdots & 0 & s & 0 & \cdots & 0
\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 0
\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots
\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij}(a)
}
{ =} {\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\\ \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots
\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & a & \cdots & 0
\\ \vdots & \cdots & \cdots & \ddots & \cdots & \cdots & \vdots
\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & 0
\\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots
\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Elementarmatrizen sind invertierbar, siehe
Aufgabe 12.1.
{Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen in $K$.}
\faktuebergang {Dann hat die
\definitionsverweis {Multiplikation}{}{}
mit den
$m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
}{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
}{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}).
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.3. }
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in
Lemma 5.3
gezeigt wurde.
{Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es
\definitionsverweis {elementare Zeilenumformungen}{}{}
und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten
\mathdisp {j_1 ,\, j_2 , \ldots , j_n} { }
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt
\mathdisp {s_{j_k} = \begin{pmatrix} b_{1, j_k} \\ \vdots\\ b_{k, j_k}\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \text{ mit } b_{k, j_k} \neq 0 \text{ für } k \leq r} { }
und
\mathdisp {s_{j_k} = \begin{pmatrix} b_{1, j_k} \\ \vdots\\ b_{r, j_k}\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \text{ für } k > r} { }
besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix}
d_{11} & * & \cdots & * & * & \cdots & *
\\ 0 & d_{22} & \cdots & * & * & \cdots & *
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ 0 & 0 & \cdots & d_{ r r } & * & \cdots & *
\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_{ii}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bringen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Vorlesung 5.}
\inputfaktbeweis
{Invertierbare Matrix/Treppengestalt/Einheitsmatrix/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es
\definitionsverweis {elementare Zeilenumformungen}{}{}
derart, dass nach diesen Umformungen eine Matrix der Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entsteht. Durch weitere elementare Zei\-lenumformungen kann die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
erreicht werden.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies beruht auf den Manipulationen des Eliminationsverfahrens und darauf, dass elementare Zeilenumformungen nach Lemma 12.8 durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von links ausgedrückt werden können. Dabei können in einer Spalte bzw. in einer Zeile nicht nur Nullen entstehen, da die Elementarmatrizen invertierbar sind und so in jedem Schritt die Invertierbarkeit erhalten bleibt. Eine Matrix mit einer Nullspalte oder einer Nullzeile ist aber nicht invertierbar. Wenn eine invertierbare obere Dreiecksmatrix vorliegt, so sind nach Aufgabe ***** die Diagonaleinträge nicht $0$ und man kann mit skalarer Multiplikation die Diagonaleinträge zu $1$ machen und damit die in jeder Spalte darüberliegenden Einträge zu $0$.
Insbesondere gibt es zu einer invertierbaren Matrix $M$ Elementarmatrizen
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathdisp {E_1 \circ \cdots \circ E_k \circ M} { }
die Einheitsmatrix ist.
\zwischenueberschrift{Auffinden der inversen Matrix}
\inputverfahren{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {quadratische Matrix}{}{.}
Wie kann man entscheiden, ob die Matrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist, und wie kann man die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
\mathl{M^{-1}}{} finden?
Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix $M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix $M^{-1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem \stichwort {Invarianzprinzip} {.} Jede elementare Zeilenumformung kann nach
Lemma 12.8
als eine Matrizenmultiplikation mit einer
\definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{}
$E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle
\mathdisp {(M_1, M_2)} { }
steht, so steht im nächsten Schritt
\mathdisp {(EM_1,EM_2)} { . }
Wenn man das Inverse
\zusatzklammer {das man noch nicht kennt, das es aber unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist, gibt} {.} {}
der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (EM_1)^{-1} EM_2
}
{ =} { M_1^{-1} E^{-1} E M_2
}
{ =} { M_1^{-1} M_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich
\mathl{M^{-1} E_{ n }}{,} daher muss zum Schluss für
\mathl{( E_{ n } , N)}{} gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N
}
{ =} { E_{ n }^{-1} N
}
{ =} { M^{-1} E_{ n }
}
{ =} { M^{-1}
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen zur Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}{} gemäß dem in
Verfahren 12.5
beschriebenen Verfahren die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
$M^{-1}$ bestimmen.
\matabellezweisieben {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -11 & -2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & -11 & -2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 11 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
}
\zwischenueberschrift{Rang von Matrizen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann nennt man die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Spalten
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraums}{}{}
von $K^m$ den \definitionswort {(Spalten-)Rang}{} der Matrix, geschrieben
\mathdisp {\operatorname{rang} \, M} { . }
}
{Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 12.18. }
Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den \stichwort {Zeilenrang} {} einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Unterraumes von $K^n$ ein.
\inputfaktbeweis
{Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann stimmt der
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Zeilenrang}{}{}
überein.}
\faktzusatz {Der Rang ist gleich der in
Satz 12.9
verwendeten Zahl $r$.}
\faktzusatz {}
}
{
Bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Satz 12.9 angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da wiederum die ersten $r$ Spalten \zusatzklammer {wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat} {} {} linear unabhängig sind und die weiteren Spalten \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe 12.12 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom \stichwort {Rang einer Matrix} {} sprechen werden.
{Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$M$ ist invertierbar.
}{Der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
von $M$ ist $n$.
}{Die Zeilen von $M$ sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Die Spalten von $M$ sind linear unabhängig.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dies folgt aus Lemma 12.5 und aus Lemma 12.15.}