Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 12

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„Wege entstehen dadurch, dass man sie geht“
Franz Kafka



Invertierbare Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

gibt.


Definition  

Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

die inverse Matrix von . Man schreibt dafür

Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar.


Definition  

Zu einem Körper und nennt man die Menge aller invertierbaren -Matrizen die allgemeine lineare Gruppe über . Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.

Nach Korollar 11.11 sind zu einer linearen Abbildung die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.



Eigenschaften von linearen Abbildungen



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
  2. ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
  3. Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.

Beweis  

Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . (1). Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttrivales (Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.
(2). Siehe Aufgabe 11.2.
(3). Sei . Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung mit

Es sei die Matrix zu und die Matrix zu . Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Lemma 11.9 ist daher

und somit ist invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.




Elementarmatrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

  1. Vertauschung von zwei Zeilen.
  2. Multiplikation einer Zeile mit .
  3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition  

Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.

Elementarmatrizen sind invertierbar, siehe Aufgabe 12.1.



Lemma

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().

Beweis

Siehe Aufgabe 12.3.


Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Lemma 5.3 gezeigt wurde.



Satz

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

und

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

mit bringen.

Beweis

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Vorlesung 5.




Korollar  

Es sei ein Körper und sei eine invertierbare -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen derart, dass nach diesen Umformungen eine Matrix der Gestalt

mit entsteht. Durch weitere elementare Zeilenumformungen kann die Einheitsmatrix erreicht werden.

Beweis  

Dies beruht auf den Manipulationen des Eliminationsverfahrens und darauf, dass elementare Zeilenumformungen nach Lemma 12.8 durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von links ausgedrückt werden können. Dabei können in einer Spalte bzw. in einer Zeile nicht nur Nullen entstehen, da die Elementarmatrizen invertierbar sind und so in jedem Schritt die Invertierbarkeit erhalten bleibt. Eine Matrix mit einer Nullspalte oder einer Nullzeile ist aber nicht invertierbar. Wenn eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, so sind die Diagonaleinträge nicht und man kann mit skalarer Multiplikation die Diagonaleinträge zu machen und damit die in jeder Spalte darüberliegenden Einträge zu .


Insbesondere gibt es zu einer invertierbaren Matrix Elementarmatrizen derart, dass

die Einheitsmatrix ist.



Auffinden der inversen Matrix

Verfahren  

Es sei eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix finden?

Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle

steht, so steht im nächsten Schritt

Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich

D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich , daher muss zum Schluss für gelten


Beispiel  

Wir wollen zur Matrix gemäß dem in Verfahren 12.5 beschriebenen Verfahren die inverse Matrix bestimmen.




Rang von Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Unterraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben



Lemma

Es sei ein [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde.

Dann gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 12.18.


Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer -Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Unterraumes von ein.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 12.12 verwendeten Zahl .

Beweis  

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Satz 12.12 angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang , da die ersten Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang , da wiederum die ersten Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser Spalten sind. Die Aufgabe 12.12 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.


Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.



Korollar

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist invertierbar.
  2. Der Rang von ist .
  3. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  4. Die Spalten von sind linear unabhängig.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 12.5 und aus Lemma 12.15.


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