Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel). Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.


Aufgabe

Rekapituliere die Begriffe spitzes Dreieck, stumpfes Dreieck, gleichseitiges Dreieck und gleichschenkliges Dreieck.


Aufgabe

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich Grad ist.


Aufgabe

In den affinen Ebenen und seien nichtausgeartete Dreiecke und gegeben. Zeige, dass es eine bijektive affine Abbildung

gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.


Aufgabe

Zeige, dass sich bei einer Verschiebung einer euklidischen Ebene die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.


Aufgabe

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Aufgabe

Es seien drei Punkte gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander ähnlich sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.


Aufgabe

Zeige, dass es in einem nichtausgearteten Dreieck maximal einen rechten Winkel gibt.


Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?


Aufgabe

Bestimme für das Dreieck im mit den Eckpunkten die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung

Es heißt primitiv, wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen.


Aufgabe

Seien und ungerade. Zeige, dass keine Quadratzahl ist.


Aufgabe

Sei ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass oder ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Skizziere ein Dreieck derart, dass eine Höhe das Dreieck in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke und unterteilt so, dass die Seitenlängen von und jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.


Aufgabe

Beweise den Höhensatz.


Aufgabe *

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an . Es sei der Mittelpunkt der Strecke . Dann ist

d.h. liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt durch (und ).


Aufgabe *

Beweise den Kosinussatz.


Aufgabe *

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung

zwischen den Seitenlängen gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die beiden Dreiecke

explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Dreieck im mit den Eckpunkten die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.


Aufgabe (8 (2+1+1+4) Punkte)

Im sei das Dreieck mit den Eckpunkten gegeben.

a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.

b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.

c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.

d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Höhengerade durch den Punkt , die Länge dieser Höhe und den zugehörigen Höhenfußpunkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Dreieck in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass der Abstand des Eckpunktes zur Seite im Punkt oder im Punkt oder im Höhenfußpunkt zur Höhe durch angenommen wird.



<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)