Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 46

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei eine Primzahl und sei eine Gruppe der Ordnung . Zeige, dass eine zyklische Gruppe ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

alle verschieden sind.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Aufgabe

Bestimme die Untergruppen von .


Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ().
  5. .
  6. ().

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?


Aufgabe

Es sei die Permutationsgruppe zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als Ordnungen von Untergruppen und welche als Ordnungen von Elementen auf?


Aufgabe

Es sei ein Körper, , die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante . Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ein Normalteiler in ist.


Aufgabe *

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern , , in einer Gruppe ein Normalteiler ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ein Normalteiler in ?


Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.

Seien Gruppen und Gruppenhomomorphismen derart, dass für gilt. Dann heißt

eine exakte Sequenz von Gruppen.


Aufgabe

Sei

eine exakte Sequenz von Gruppen, wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Untergruppen von .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Menge und sei eine Permutation auf und . Zeige, dass eine Untergruppe von ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit . Zeige die Beziehung


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ein Normalteiler in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Gruppe und sei eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

eine surjektive Abbildung mit für alle . Zeige, dass eine Gruppe und ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen an derart, dass ein Normalteiler in und ein Normalteiler in , aber kein Normalteiler in ist.


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