Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 4

In der linearen Algebra wird stets ein Körper ${}K$ zugrunde gelegt, wobei man dabei grundsätzlich an die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ denken kann. Da es aber zunächst bei Fragen der linearen Algebra nur auf die algebraischen Eigenschaften von ${}\mathbb {R}$ ankommt, kann man genauso gut an die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ denken. Ab der Eigenwerttheorie werden dann auch spezifischere Eigenschaften des Körpers (wie die Existenz von Wurzeln) bedeutsam.

Die „Mutter aller linearen Gleichungssysteme“ ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form

${}ax=b\,$

mit gegebenen Elementen ${}a,b$ aus einem Körper ${}K$ und gesuchtem ${}x$. Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei ${}a\neq 0$ kann man die Gleichung mit dem Inversen von ${}a$ in ${}K$, also mit ${}a^{-1}$, multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung

${}x=ba^{-1}={\frac {b}{a}}\,.$

Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei ${}a=0$ hängt das Lösungsverhalten von ${}b$ ab. Bei ${}b=0$ ist jedes ${}x\in K$ eine Lösung, bei ${}b\neq 0$ gibt es keine Lösung.

Lineare Gleichungssysteme

Wir beschreiben drei weitere einführende Beispiele, ein alltägliches, ein geometrisches und ein physikalisches, die alle zu einem linearen Gleichungssystem führen.

Beispiel

An einem Stand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist

$G_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}},\,G_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}},\,G_{3}={\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}.$

Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller (möglichen) Glühweine bilden einen Vektorraum  (diesen Begriff werden wir in der nächsten Vorlesung einführen) und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum.

Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den gewünschten Geschmack trifft und dass der Wunschglühwein die Zusammensetzung

${}W={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$

hat. Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$ derart, dass

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$

gilt? Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den „Variablen“ ${}a,b,c$, wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra.

Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel 1.2, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sehen müssen.

Beispiel

Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien zwei Ebenen

${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 4x-2y-3z=5\right\}}\,$

und

${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x-5y+2z=1\right\}}\,$

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade ${}G=E\cap F$ beschreiben? Ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

$4x-2y-3z=5\,\,{\text{ als auch }}\,\,3x-5y+2z=1$

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ${}3$ und ziehen davon das ${}4$-fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

${}14y-17z=11\,.$

Wenn man ${}y=0$ setzt, so muss ${}z=-{\frac {11}{17}}$ und ${}x={\frac {13}{17}}$ sein. D.h. der Punkt ${}P=\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)$ gehört zu ${}G$. Ebenso findet man, indem man ${}z=0$ setzt, den Punkt ${}Q=\left({\frac {23}{14}},\,{\frac {11}{14}},\,0\right)$. Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also

${}G={\left\{\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)+t\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,.$

Beispiel

Ein elektrisches Netzwerk (ein Gleichstrom-Netzwerk) besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante ${}K_{j}$ liegt ein bestimmter (vom Material und der Kantenlänge abhängigen) Widerstand ${}R_{j}$ vor. Die Verbindungspunkte ${}P_{n}$, in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk (bzw. gewisse Kanten davon) eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom ${}I_{j}$. Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können (wenn der Strom in die entgegengesetze Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen). Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss ${}0$ ergeben. Entlang einer Kante ${}K_{j}$ kommt es zu einem Spannungsabfall ${}U_{j}$, der durch das Ohmsche Gesetz

${}U_{j}=R_{j}\cdot I_{j}\,$

beschrieben wird.

Unter einer Masche (oder einem Zykel) des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung ${}0$, es sei denn, es wird „von außen“ eine Spannung angelegt.

Wir listen diese Kirchhoffschen Regeln nochmal auf.

1. In jedem Knoten ist die Summe der (ein- und abfließenden) Ströme gleich ${}0$.
2. In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich ${}0$.
3. Wenn in einer Masche eine Spannung ${}V$ angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich ${}V$.

Aus „physikalischen Gründen“ ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst.

In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten ${}K_{1},\ldots ,K_{5}$ (mit den Widerständen $R_{1},\ldots ,R_{5}$) von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante ${}K_{0}$ von ${}A$ nach ${}C$ (an die die Spannung ${}V$ angelegt sei), sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen ${}(A,D,B),\,(D,B,C)$ und ${}(A,D,C)$ führen auf das lineare Gleichungssystem (einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine „Kreisrichtung“, im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an)

${\begin{matrix}I_{0}&+I_{1}&&-I_{3}&&&=&0\\&&&I_{3}&+I_{4}&+I_{5}&=&0\\-I_{0}&&+I_{2}&&-I_{4}&&=&0\\&-I_{1}&-I_{2}&&&-I_{5}&=&0\\&R_{1}I_{1}&&+R_{3}I_{3}&&-R_{5}I_{5}&=&0\\&&-R_{2}I_{2}&&-R_{4}I_{4}&+R_{5}I_{5}&=&0\\&-R_{1}I_{1}&+R_{2}I_{2}&&&&=&-V\,.\end{matrix}}$

Dabei sind die ${}R_{j}$ und ${}V$ vorgegebene Zahlen und die ${}I_{j}$ sind gesucht.

Wir geben nun die Definition eines homogenen und eines inhomogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper zu einer Variablenmenge.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Die Menge aller Lösungen eines linearen Gleichungssystems heißt die Lösungsmenge. Im homogenen Fall spricht man auch vom Lösungsraum, da es sich in der Tat nach Lemma 6.11 um einen Vektorraum handelt.

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung ${}0=(0,\ldots ,0)$. Ein inhomogenes Gleichungssystem braucht nicht unbedingt eine Lösung haben. Zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem heißt das homogene System, das entsteht, wenn man den Störvektor durch den Nullvektor ${}0$ ersetzt, das zugehörige homogene System.

Die folgende Situation beschreibt die abstrakte Version von Beispiel 4.1.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m\in \mathbb {N}$. Im ${}K^{m}$ seien ${}n$ Vektoren (oder ${}m$-Tupel)

$v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$

gegeben und sei

${}w={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$

ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich ${}w$ als „Linearkombination“ der ${}v_{j}$ darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es ${}n$ Elemente ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit der Eigenschaft

${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$

gibt. Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponente vorliegen muss, sodass dies zum linearen Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}s_{1}+a_{12}s_{2}+\cdots +a_{1n}s_{n}&=&c_{1}\\a_{21}s_{1}+a_{22}s_{2}+\cdots +a_{2n}s_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}s_{1}+a_{m2}s_{2}+\cdots +a_{mn}s_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

führt.

Bemerkung  

Gelegentlich ist ein lineares Gleichungssystem nicht in der Form gegeben, dass die Variablen nur auf einer Seite der Gleichungen auftauchen, wie beispielsweise bei

${}3x-4+5y=8z+7x\,,$

${}2-4x+z=2y+3x+6\,,$

${}4z-3x+2x+3=5x-11y+2z-8\,.$

In diesem Fall muss man das System zuerst durch einfache Additionen und Zusammenfassen der Koeffizienten in jeder einzelnen Gleichung in die Standardgestalt bringen.

Der Matrizenkalkül

Lineares Gleichungssystem/Matrizenkalkül/Einführung/Textabschnitt

Definition

Die ${}n\times n$- Matrix

${}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

nennt man die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix ${}E_{n}$ besitzt die Eigenschaft ${}E_{n}M=M=ME_{n}$ für eine beliebige ${}n\times n$-Matrix ${}M$. Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen.

Bemerkung  

Wenn man eine ${}m\times n$-Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ mit einem Spaltenvektor ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ multipliziert, so erhält man

${}Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}$ kurz als

${}Ax=c\,$

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen (siehe die nächste Vorlesung) durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix (unter Berücksichtigung der Störvektorseite) ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.

Definition

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

nennt man Diagonalmatrix.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die ${}n\times m$-Matrix

${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$.

Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist

${}{{\begin{pmatrix}t&n&o&e\\r&s&n&r\\a&p&i&t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}t&r&a\\n&s&p\\o&n&i\\e&r&t\end{pmatrix}}\,.$

Fußnoten

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