Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 4

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

{}3x=5\,

für die folgenden Körper ${}K$ :

a) ${}K=\mathbb {Q}$ ,

b) ${}K=\mathbb {R}$ ,

c) ${}K=\{0,1\}$ , der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 3.8,

d) ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ , der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 3.9.

Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt (siehe auch den Anhang). Eine komplexe Zahl hat die Form ${}a+b{\mathrm {i} }$ mit reellen Zahlen ${}a,b$ . Bei der Multiplikation rechnet man ${}{\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} }=-1$ . Die inverse komplexe Zahl zu ${}a+b{\mathrm {i} }\neq 0$ ist ${}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ .

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

{}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}

nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt.

Aufgabe

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem

{}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,

aus Beispiel 4.1?

Aufgabe *

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$ , liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$ ?

Aufgabe *

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$ ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$ . Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$ , wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$ .

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

{\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.

Unter dem ${}i$ -ten Standardvektor der Länge ${}n$ versteht man den Vektor, der an der ${}i$ -ten Stelle eine ${}1$ und sonst nur Nullen stehen hat.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

e_{i}\circ e_{j},

wobei links der ${}i$ -te Standardvektor (der Länge ${}n$ ) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$ -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$ ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$ -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$ -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$ -te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$ , wobei ${}e_{i}$ der ${}i$ -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

{\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

{\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }&4{\mathrm {i} }\\-5+7{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}+{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5+4{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }\\{\sqrt {2}}-{\mathrm {i} }&e+\pi {\mathrm {i} }\\1&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

Aufgabe *

Es seien ${}2\times 2$ - Matrizen ${}A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ und ${}B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ gegeben. Das Produkt ${}A\cdot B$ ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt ${}8$ Multiplikationen im Körper ${}K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur ${}7$ Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

{}m_{1}={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}\,,

{}m_{2}={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}\,,

{}m_{3}=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}\,,

{}m_{4}=a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\,,

{}m_{5}={\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\,,

{}m_{6}={\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\,,

{}m_{7}={\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\,.

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

{}AB=C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}}\,

die Gleichungen

{}c_{11}=m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}\,,

{}c_{12}=m_{3}+m_{5}\,,

{}c_{21}=m_{2}+m_{4}\,,

{}c_{22}=m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}\,,

gelten.

Zu einer Matrix ${}M$ bezeichnet man mit ${}M^{n}$ die ${}n$ -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$ -ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

{}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,

die Potenzen

M^{i},\,i=1,\ldots ,4.

Aufgabe

Es sei

{}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,

eine Diagonalmatrix und ${}M$ eine ${}n\times n$ -Matrix. Beschreibe ${}DM$ und ${}MD$ .

Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation (siehe Aufgabe 4.24) und des Distributivgesetzes.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass die Menge aller quadratischen ${}n\times n$ - Matrizen über ${}K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n,p\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ , ${}C\in \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)$ und ${}s\in K$ ).

${}{({A^{\text{tr}}})^{\text{tr}}}=A$ .
${}{(A+B)^{\text{tr}}}={A^{\text{tr}}}+{B^{\text{tr}}}$ .
${}{(sA)^{\text{tr}}}=s\cdot {A^{\text{tr}}}$ .
${}{(A\circ C)^{\text{tr}}}={C^{\text{tr}}}\circ {A^{\text{tr}}}$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}3&4\\2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}\,

über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 3.9.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

{\begin{pmatrix}3-2{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }&0\\7{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }&4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1-2{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\5-7{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,

über einem Körper ${}K$ . Zeige, dass die vierte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

{}M^{4}=MMMM=0\,.

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$ -Matrix, ${}B$ eine ${}n\times p$ -Matrix und ${}C$ eine ${}p\times r$ -Matrix über ${}K$ . Zeige, dass ${}(AB)C=A(BC)$ ist.