Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 4

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem




Übungsaufgaben

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

für die folgenden Körper :

a) ,

b) ,

c) , der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 3.8,

d) , der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 3.9.


Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt (siehe auch den Anhang). Eine komplexe Zahl hat die Form mit reellen Zahlen . Bei der Multiplikation rechnet man . Die inverse komplexe Zahl zu ist .

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe

Gibt es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem

aus Beispiel 4.1?


Aufgabe *

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe *

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.


Aufgabe

In einer Familie leben und . Dabei ist dreimal so alt wie und zusammen, ist älter als und ist älter als , wobei der Altersunterschied von zu doppelt so groß wie der von zu ist. Ferner ist siebenmal so alt wie und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich .

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.


Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Unter dem -ten Standardvektor der Länge versteht man den Vektor, der an der -ten Stelle eine und sonst nur Nullen stehen hat.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.


Aufgabe *

Es seien -Matrizen und gegeben. Das Produkt ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt Multiplikationen im Körper ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

die Gleichungen

gelten.


Zu einer Matrix bezeichnet man mit die -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

die Potenzen


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und eine -Matrix. Beschreibe und .


Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation (siehe Aufgabe 4.24) und des Distributivgesetzes.

Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge aller quadratischen -Matrizen über mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation einen Ring bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien , und ).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

über dem Körper aus Beispiel *****.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die vierte Potenz von gleich ist, also


Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.

Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Finde und beweise eine Formel für die -te Potenz der Matrix



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