Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 57/latex
\setcounter{section}{57}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen bei Körperwechsel}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
und einer
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die $L$-lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_L} {V_L = L \otimes_{ K } V } { W_L = L \otimes_{ K } W
} {b \otimes v } {b \otimes \varphi(v )
} {,}
die durch
\definitionswort {Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung}{.}
}
Diese Abbildung ist nicht nur $K$-linear, sondern, wie in Proposition 56.13 (3) gezeigt wurde, auch $L$-linear.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Körperwechsel/Matrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {beschreibenden Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann wird die durch den
\definitionsverweis {Körperwechsel gewonnene}{}{}
lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi_L} {V_L} {W_L
} {}
bezüglich der Basen
\mathl{1 \otimes v_1 , \ldots , 1 \otimes v_n}{} von $V_L$ und
\mathl{1 \otimes w_1 , \ldots , 1 \otimes w_m}{} von $W_L$ ebenfalls durch die Matrix $M$, aufgefasst über $L$, beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
Lemma 56.14
liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement $v_j$ von $V$ wird unter $\varphi$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_j)
}
{ =} { \sum_{i=1}^n a_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet. Somit wird das Basiselement
\mathl{1 \otimes v_j}{} von $V_L$ unter $\varphi_L$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (1 \otimes v_j)
}
{ =} { 1 \otimes \varphi (v_j)
}
{ =} { 1 \otimes { \left( \sum_{i=1}^n a_{ij} w_i \right) }
}
{ =} {\sum_{i=1}^n a_{ij} { \left( 1 \otimes w_i \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten
\mathl{a_{ij}}{} konstituieren also die beschreibende Matrix von $\varphi_L$.
\zwischenueberschrift{Das Dachprodukt}
Unter den multilinearen Abbildungen spielen die alternierenden Abbildungen eine besondere Rolle, das wichtigste Beispiel ist die Determinante. Wir führen hier eine Konstruktion für das sogenannte \stichwort {Dachprodukt} {} durch, dass für die alternierenden Abbildungen eine ähnliche Rolle spielt wie das Tensorprodukt für die multilinearen Abbildungen.
Wir erinnern an alternierende Abbildungen.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ und $W$ seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W
} {}
heißt \definitionswort {alternierend}{,} wenn folgendes gilt: Falls in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ (v_1 , \ldots , v_{ n })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Einträge übereinstimmen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i
}
{ = }{v_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputkonstruktion{}
{
Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir konstruieren das sogenannte $n$-te \stichwort {Dachprodukt} {} von $V$ mit sich selbst, geschrieben
\mathl{\bigwedge^n V}{.} Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form
\mathdisp {{(v_1 , \ldots , v_n)} \text{ mit } v_i \in V} { }
und die zugehörige Menge der
\mathl{e_{ (v_1 , \ldots , v_n) }}{.} Wir betrachten den Vektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { K^{(S)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das ist die Menge aller
\zusatzklammer {endlichen} {} {}
Summen
\mathdisp {a_1 e_{s_1} + \cdots + a_ke_{s_k} \text{ mit } a_i \in K \text{ und } s_i \in S} { , }
die $e_s$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes
\mathl{\operatorname{Abb} \,(S,K)}{}
\zusatzklammer {es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Wert $0$ haben} {} {.}
In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird
\zusatzklammer {die man die \stichwort {Standardrelationen} {} des Dachprodukts nennt} {} {.}
\mathdisp {e_{ (v_1 , \ldots , v_{i-1} , v +w , v_{i+1} , \ldots , v_{n}) } - e_{ (v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{n}) } - e_{ (v_1 , \ldots , v_{i-1} , w , v_{i+1} , \ldots , v_{n}) }} { }
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots , v_n,v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , a v , v_{i+1} , \ldots , v_{n})} - a e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{n})}} { }
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots , v_n,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v , v_{i+1} , \ldots , v_{j-1} , v, v_{j+1} , \ldots , v_{n}) }} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ < }{ j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{i-1},v_{i+1} , \ldots ,, v_{j-1},v_{j+1} , \ldots , v_n,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V
}
{ \defeq} { H/U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. man bildet den
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
von $H$ modulo dem Unterraum $U$.
}
Die Elemente
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$. Die Restklasse von
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} modulo $U$ bezeichnen wir mit\zusatzfussnote {
Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} bzw. $\wedge$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die \anfuehrung{Bedeutung}{} dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} das von den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {erzeugte \anfuehrung{orientierte}{} Parallelotop}{}{} in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt
\mathl{\bigwedge^n V}{} besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
} {} {}
\mathdisp {v_1 \wedge \ldots \wedge v_n} { . }
Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln\zusatzfussnote {Es gilt die Klammerungskonvention \anfuehrung{Dachprodukt vor Punktrechnung}{,} d.h. der Ausdruck
\mathl{a v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} ist als
\mathl{a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)}{} zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)
}
{ =} {(av_1) \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {v_1 \wedge \ldots \wedge (av_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}} {} {}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge (v +w ) \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ = \! \! \! \!} { \! \! \! v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n} \, + \, v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge w \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge av \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ =} {a \cdot v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{j-1} \wedge v \wedge v_{j+1} \wedge \ldots \wedge v_{n}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Man nennt den
\zusatzklammer {in
Konstruktion 57.3
konstruierten} {} {}
$K$-Vektorraum
\mathl{\bigwedge^n V}{} die $n$-te \definitionswort {äußere Potenz}{}
\zusatzklammer {oder das $n$-te \definitionswort {Dachprodukt}{}} {} {}
von $V$. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {V^n} { \bigwedge^n V
} {(v_1 , \ldots , v_n)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
} {,}
nennt man die \definitionswort {universelle alternierende Abbildung}{.}
}
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für das Dachprodukt}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten für die
\definitionsverweis {äußeren Potenzen}{}{}
folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Elemente der Form
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} mit
\mathl{v_i \in V}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{.}
}{Die Abbildung \maabbeledisp {} {V^n} { \bigwedge^n V
} {(v_1 , \ldots , v_n)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
} {,}
ist
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge v \wedge w \wedge v_{i+2} \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {- v_1 \wedge \ldots \wedge v_{i-1} \wedge w \wedge v \wedge v_{i+2} \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es seien
\mathl{u_1 , \ldots , u_m \in V}{} gegeben und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} { \sum_{ (i_1 , \ldots , i_n) \in \{1 , \ldots , m \}^n } { \left( \prod_{j = 1}^n a_{i_j j} \right) } u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m } { \left( \sum_{ \pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j) } j} \right) } u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der
Konstruktion.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es liegt die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\mathdisp {V^n \longrightarrow H \cong K^{(V^n)} \longrightarrow H/U} { }
vor, wobei
\mathl{(v_1 , \ldots , v_n)}{} auf
\mathl{e_{(v_1 , \ldots , v_n)}}{} und dies auf die Restklasse
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{}abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums $U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) gilt nach
Lemma 16.8
für jede
\definitionsverweis {alternierende Abbildung}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Die erste Gleichung gilt nach
Lemma 16.6
für jede
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.}
Wenn sich in dem Indextupel
\mathl{(i_1 , \ldots , i_n)}{} ein Eintrag wiederholt, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ i_1
}
{ < }{ \ldots
}
{ < }{ i_n
}
{ \leq }{ m
}
}
{}{}{}
gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \sum_{\pi \in S_n} \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j)} j} u_{i_{\pi(1)} } \wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)} }
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi (j)} j} u_{i_1 } \wedge \ldots \wedge u_{i_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
{}
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {v_1 , \ldots , v_n} {und} {w_1 , \ldots , w_n} {}
Vektoren in $V$,}
\faktvoraussetzung {die miteinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen, wobei $M$ eine
$n\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann gilt in
\mathl{\bigwedge^n V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} { ( \det M) w_1 \wedge \ldots \wedge w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( b_{jk} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ = }{ \sum_{k= 1}^n b_{j k } w_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit der transponierten Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ (a_{ij})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ = }{ \sum_{ i = 1}^n a_{ij } w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit sind wir in der Notation von
Lemma 57.5 (4)
und es gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ v_1 \wedge \ldots \wedge v_n
}
{ =} {\sum_{ 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq n } { \left( \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{i_{\pi(j)} j} \right) } w_{i_1 } \wedge \ldots \wedge w_{i_n}
}
{ =} { \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{j = 1}^n a_{ {\pi(j)} j} w_{ 1 } \wedge \ldots \wedge w_{ n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i_j
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss. Daher folgt die Aussage aus der
Leibniz-Formel
für die
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes}
Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\psi} { V^{ n } } { W
} {}
eine
\definitionsverweis {alternierende}{}{}
\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { \bigwedge^{ n } V } { W
} {}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V^{ n } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \bigwedge^{ n } V & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & W & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
\definitionsverweis {kommutiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden die Notation aus
Konstruktion 57.3. \teilbeweis {}{}{}
{Durch die Zuordnung
\mathdisp {e_{(v_1 , \ldots , v_n)} \longmapsto \psi(v_1 , \ldots , v_n)} { }
wird nach
Satz 10.10
eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\bar{\psi}} { H } { W
} {}
definiert. Da $\psi$
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist, wird unter $\bar{\psi}$ der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $0$ abgebildet. Nach
Satz 48.7
gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { H/U } { W
} {,}
die mit $\bar{\psi}$ verträglich ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_n}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{\bigwedge^n V}{} bilden und diese auf
\mathl{\psi (v_1 , \ldots , v_n)}{} abgebildet werden müssen.}
{}
Es bezeichne
\mathl{\operatorname{Alt}^n (V,K)}{} die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^n$ nach $K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumstruktur}{}{}
versehen, siehe
Aufgabe 16.28.
\inputfaktbeweis
{Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {natürliche}{}{}
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} { { \left( \bigwedge^n V \right) }^* } { \operatorname{Alt}^n (V,K)
} {\psi} {((v_1 , \ldots , v_n) \mapsto \psi (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) )
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung
\mathl{\psi \mapsto \psi \circ \delta}{,} wobei
\maabb {\delta} {V \times \cdots \times V} { \bigwedge^nV
} {}
die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des
\definitionsverweis {Dualraumes}{}{}
und des
\definitionsverweis {Raumes der alternierenden Formen}{}{.}
Die Bijektivität der Abbildung folgt aus
Satz 57.7,
angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V } { V \wedge \ldots \wedge V
} { v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_k } { v_1 \wedge \ldots \wedge v_k
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich aus der
\definitionsverweis {alternierenden Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V^k} { \bigwedge^k V
} {(v_1 , \ldots , v_k)} { v_1 \wedge \ldots \wedge v_k
} {,}
gemäß
Lemma 55.4 (2).
Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k}{} im Bild liegt.
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ergibt sich aus der vorstehenden Aussage und Korollar 55.13, dass das Dachprodukt endliche Dimension besitzt. Diese werden wir in der letzten Vorlesung bestimmen.