Kurs:Maß- und Integrationstheorie/3/Klausur

Aus Wikiversity


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 7 1 9 5 7 4 8 4 4 0 4 3 62



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Topologie auf einer Menge .
  2. Ein Maß auf einem Messraum .
  3. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  4. Der Limes inferior zu einer reellen Folge .
  5. Ein Banachraum.
  6. Die (komplexen) Fourierkoeffizienten zu einer -periodischen Funktion .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Transformationsformel für Integrale zu einem -Diffeomorphismus

    wobei und

    offene Teilmengen des sind.
  3. Das Dichtheitskriterium für eine Teilmenge in einem - Hilbertraum .


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

  1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
  2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

die lineare Projektion auf die erste Komponente. Man skizziere drei messbare Teilmengen derart an, dass ihr Flächeninhalt gleich bzw. bzw. ist und deren Bild in die Länge besitzt.


Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen und cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren und erzeugte Parallelogramm . Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in liegt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Messraum und es sei

() eine Folge von messbaren Funktionen, wobei die - Algebra der Borelmengen trägt. Es sei . Zeige, dass die Menge

eine messbare Teilmenge von ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die allgemeine Transformationsformel für Integrale.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von der majorisierten Konvergenz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

um die -Achse rotieren lässt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl und ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der - integrierbaren Funktionen ein - Vektorraum ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und . Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom höchstens Nullstellen in besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein lineares Polynom , das im Lebesgueraum senkrecht auf der Exponentialfunktion steht.