Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 7

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe

Schreibe ein Computer-Programm, das zu einer vorgegebenen rationalen Zahl mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der Zahl bis auf Nachkommastellen (im Dezimalsystem) genau berechnet.


Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 7.10.


Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

mit

heißt Polynomfunktion.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen und in einem angeordneten Körper mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (8 Punkte)

Mathematiker haben, so ein weitverbreitetes Vorurteil, Schwierigkeiten, ihre Hemden korrekt zuzuknöpfen. Ein Hemd hat auf der einen Seite eine von oben nach unten geordnete Knopfreihe bestehend aus Knöpfen und auf der anderen Seite eine ebenso geordnete Lochreihe aus Löchern. Beide Reihen seien von oben nach unten mit bis durchnummeriert. Eine Zuknöpfung ordnet jedem Knopf genau ein Loch zu, sie ist also eine Abbildung

wobei die identische Abbildung als korrekte (oder triviale) Zuknöpfung gilt. Der Zerstreutheitsindex ist ein wichtiges numerisches Maß[1] für die Zerstreutheit (oder Kreativität) einer Zuknöpfung . Er ist definiert über die Abbildung

  1. Zeige: Eine Zuknöpfung ist genau dann korrekt, wenn ist.[2]
  2. Kann eine Zuknöpfung den Zerstreutheitsindex haben? Wie sieht es bei bijektiven Zuknöpfungen aus?
  3. Bestimme

    in Abhängigkeit von .

  4. Es sei die Menge aller bijektiven Zuknöpfungen. Bestimme

    für .

  5. Es sei die Menge aller konstanten Zuknöpfungen. Bestimme

    in Abhängigkeit von .

  6. Eine Zuknöpfung heißt semikorrekt,[3] wenn ist. Klassifiziere[4] alle semikorrekten Zuknöpfungen bei .




Fußnoten
  1. Ein solches Maß heißt auch eine Invariante. Es ist ein wichtiger Aspekt der Mathematik, nach Invarianten von mathematischen Objekten zu suchen, die wesentliche Eigenschaften von diesen Objekten ausdrücken. Die Berechnung von solchen Invarianten kann schwierig sein.
  2. Häufig liegt eine besondere Situation vor, wenn die Invariante den einfachsten Wert annimmt. Von daher sind Invarianten auch dafür da, einfache Objekte von schwierigen Objekten zu unterscheiden.
  3. Mit Hilfe von Invarianten kann man Eigenschaften von Objekten definieren. Eigenschaften, die „nahe“ an einem gewissen Begriff sind, werden häufig so bezeichnet, dass vor den Begriff eine Vorsilbe wie „quasi-, prä-, semi-, fast-, pseudo-“ etc. gestellt wird.
  4. Klassifiziere meint hier, dass man die verschiedenen Möglichkeiten auflisten soll. Es ist eine wichtige Zielsetzung innerhalb der Mathematik, eine strukturelle Übersicht über möglichst alle Objekte eines mathematischen Gebiets zu erlangen.



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