Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es seien
und
Mengen und es seien
und
Abbildungen.
Dann ist
Es seien
und
Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist bijektiv.
- Es gibt eine Abbildung
-
- Es gibt eine Abbildung
mit
und es gibt eine Abbildung
mit
.
Es sei eine Menge und
eine
Äquivalenzrelation
auf
mit den
Äquivalenzklassen
,
,
und der
Quotientenmenge
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
genau dann, wenn
ist, und dies gilt genau dann, wenn
.
- Die Identifikationsabbildung
-
- Es ist
.
Für jede
natürliche Zahl
sei eine Aussage
gegeben. Es gelte
ist wahr.
- Für alle
gilt: wenn
gilt, so ist auch
wahr.
Dann gilt für alle
.
Es sei eine
endliche Menge
mit
Elementen und
eine endliche Menge mit
Elementen. Es sei
.
Dann gibt es keine injektive Abbildung
Seien
und
endliche Mengen
mit
Elementen. Dann sind für eine Abbildung
die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.
Es sei ein
Dedekind-Peano-Modell
der natürlichen Zahlen und es sei
eine Menge mit einem fixierten Element
und einer
Abbildung
.
Dann gibt es genau eine Abbildung
die die beiden Eigenschaften
erfüllt.
Es sei ein
Dedekind-Peano-Modell
der natürlichen Zahlen mit der in
Definition 4.7
festgelegten Addition.
Dann gelten folgende Aussagen.
für alle
, d.h.
ist das neutrale Element für die Addition.
-
für alle
.
-
- Die Addition ist kommutativ.
- Die Addition ist assoziativ.
- Aus einer Gleichung
folgt
-
Es sei ein
Dedekind-Peano-Modell
der natürlichen Zahlen mit der in
Definition 4.10
festgelegten Multiplikation.
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gilt
für alle
,
-
- Es gilt
für alle
, d.h.
ist das neutrale Element für die Multiplikation.
-
- Es ist
für alle
.
-
- Die Multiplikation ist kommutativ.
- Die Multiplikation ist assoziativ.
- Aus einer Gleichung
mit
folgt
(Kürzungsregel).
- Für beliebige
gilt
(Distributivgesetz).
-
Es sei eine
Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen
die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen
.
In einem
Körper
ist zu einem Element
das Element
mit
eindeutig bestimmt. Bei
ist auch das Element
mit
eindeutig bestimmt.
Es sei ein
Körper und seien
Elemente aus
. Dann gelten folgende Aussagen.
(Annullationsregel).
(Vorzeichenregel).
-
-
-
- Aus
folgt
oder
(Nichtnullteilereigenschaft).
(allgemeines Distributivgesetz).
Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
Es sei ein
kommutativer Ring und
.
Ferner sei
eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein angeordneter Körper.
Dann erfüllt die Betragsfunktion
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Es ist
genau dann, wenn
oder
ist.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für
ist
.
- Es ist
(Dreiecksungleichung für den Betrag).
- Es ist
.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes
mit
die Abschätzung
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zwischen je zwei Elementen
auch eine rationale Zahl
(mit
)
mit
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und
.
Dann gibt es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine
Folge
in
konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
konvergente Folgen
in
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Für
gilt
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
drei
Folgen
in
. Es gelte
und
und
konvergieren
beide gegen den gleichen Grenzwert
.
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert
.
Die Intervalle
,
,
mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.
Die komplexen Zahlen
bilden einen Körper.
Real-
und
Imaginärteil
von
komplexen Zahlen
erfüllen folgende Eigenschaften
(für
und
aus
).
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für
ist
-
- Es ist
genau dann, wenn
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
ist.
Für die
komplexe Konjugation
gelten die folgenden Rechenregeln
(für beliebige
).
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für
ist
.
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
Für eine
komplexe Zahl
gelten die folgenden Beziehungen.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für
ist
.
Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
.
- Für reelles
stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für
ist
.
- Es ist
.
- Es ist
(Dreiecksungleichung).
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.
- Sei
,
, eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt
-
- Zu einer Familie
,
, von Elementen in
ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum von
. Er stimmt mit dem Durchschnitt
-
- Die Familie
,
, ist genau dann ein Erzeugendensystem von
, wenn
-
Es sei ein
Körper und
ein
homogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein
Körper und
ein
(inhomogenes)
lineares Gleichungssystem über
in den Variablen
. Es sei
eine Variable, die in mindestens einer Gleichung
mit einem von
verschiedenen Koeffizienten
vorkommt.
Dann lässt sich jede von verschiedene
Gleichung
durch eine Gleichung
ersetzen, in der
nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem
, das aus
und den Gleichungen
besteht,
äquivalent
zum Ausgangssystem
ist.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es sei
eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist eine
Basis
von
.
- Die Familie ist ein minimales
Erzeugendensystem,
d.h. sobald man einen Vektor
weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
- Für jeden Vektor
gibt es genau eine Darstellung
-
- Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann besitzt eine endliche
Basis.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einer
Basis
. Es sei
ein Vektor mit einer Darstellung
wobei
sei für ein bestimmtes
.
Dann ist auch die Familie
eine Basis von .
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einer
Basis
eine Familie von
linear unabhängigen
Vektoren in .
Dann gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
eine Basis von ist.
Insbesondere ist
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann besitzen je zwei
Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum. Es sei
ein
Untervektorraum.
Dann ist ebenfalls endlichdimensional und es gilt
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit endlicher
Dimension
. Es seien
Vektoren
in
gegeben.
Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
bilden eine Basis von
.
bilden ein Erzeugendensystem von
.
sind linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
der
Dimension
. Es seien
linear unabhängige
Vektoren in .
Dann gibt es Vektoren
derart, dass
eine
Basis
von bilden.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
,
,
eine
Basis
von
und es seien
,
, Elemente in
.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
injektiv,
wenn
ist.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung und
sei endlichdimensional.
Dann gilt
Es sei ein
Körper
und es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume.
Dann sind
und
genau dann zueinander
isomorph,
wenn ihre
Dimension
übereinstimmt.
Insbesondere ist ein -dimensionaler
-Vektorraum isomorph zum
.
Es sei ein
Körper und sei
ein
-
dimensionaler
Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Dann sind die in Definition 13.4 festgelegten Abbildungen
invers zueinander.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
der
Dimension
bzw.
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich zweier
Basen
durch die
Matrix
beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von
bilden.
- Bei
ist
genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von
bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn
invertierbar ist.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
zwei
Basen
von
. Es sei
mit den Koeffizienten
,
die wir zur
-
Matrix
zusammenfassen.
Dann hat ein Vektor , der bezüglich der Basis
die Koordinaten
besitzt, bezüglich der Basis
die Koordinaten
Es sei ein
Körper
und es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume. Es seien
und
Basen
von
und
und
Basen von
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich der Basen
und
durch die
Matrix
beschrieben werde.
Dann wird bezüglich der Basen
und
durch die Matrix
beschrieben, wobei
und
die
Übergangsmatrizen
sind, die die Basiswechsel von
nach
und von
nach
beschreiben.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung. Es seien
und
Basen
von
.
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
bzw.
(beidseitig)
beschreiben, die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
der
Dimension
bzw.
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich zweier
Basen
durch die
Matrix
beschrieben werde.
Dann gilt
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Der Rang ist gleich der in
Satz 13.13
verwendeten Zahl .
Es sei ein
Körper und
.
Dann ist die Determinante
multilinear.
D.h., dass für jedes
,
für je
Vektoren
und für
die Gleichheit
und für
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
Körper und
.
Dann ist die Determinante
alternierend.
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Es ist
.
- Die Zeilen von
sind linear unabhängig.
ist invertierbar.
- Es ist
.
Es sei ein
Körper und
.
Es sei
eine Determinantenfunktion.
Dann besitzt folgende Eigenschaften.
- Wenn man eine Zeile von
mit
multipliziert, so ändert sich
um den Faktor
.
- Wenn in
eine Nullzeile vorkommt, so ist
.
- Wenn man in
zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich
mit dem Faktor
.
- Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich
nicht.
- Wenn
ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix
.
Es sei ein
Körper und
.
Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
mit
wobei die
Standardvektoren
sind, nämlich die
Determinante.
Es sei ein
Körper und
.
Dann gilt für Matrizen
die Beziehung
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Zu
sei
diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in
die
-te Zeile und die
-te Spalte weglässt.
Dann ist
(bei
für jedes feste
bzw.
)
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
.
Dann ist
Wenn
invertierbar
ist, so ist
Es sei ein
Körper und
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
invertierbar
sei.
Dann erhält man die eindeutige Lösung für durch
.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Es sei
.
Dann ist
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Es seien
Eigenvektoren
zu
(paarweise)
verschiedenen
Eigenwerten
.
Dann sind
linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist diagonalisierbar.
- Es gibt eine Basis
von
derart, dass die beschreibende Matrix
eine Diagonalmatrix ist.
- Für jede beschreibende Matrix
bezüglich einer Basis
gibt es eine invertierbare Matrix
derart, dass
eine Diagonalmatrix ist.
-
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es seien
Polynome mit
.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
mit
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom und
.
Dann ist genau dann eine
Nullstelle
von
, wenn
ein Vielfaches des linearen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
-
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
genau dann ein
Eigenwert
von
, wenn
eine Nullstelle des
charakteristischen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
diagonalisierbar,
wenn das
charakteristische Polynom
in
Linearfaktoren
zerfällt und wenn für jede Nullstelle
mit der algebraischen Vielfachheit
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Es sei
das
charakteristische Polynom
zu .
Dann gilt
Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann besitzt der zugehörige
Abstand
die folgenden Eigenschaften
(dabei sind
).
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
.
- Es ist
.
- Es ist
-
Es seien
und
euklidische Vektorräume
und sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist eine Isometrie.
- Für alle
ist
.
- Für alle
ist
.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und sei
eine lineare Isometrie.
Dann besitzt jeder
Eigenwert
von den Betrag
.
Es sei ein
metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
leere Menge
und die Gesamtmenge
sind offen.
- Es sei
eine beliebige Indexmenge und seien
,
, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
offen.
-
- Es sei
eine endliche Indexmenge und seien
,
, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
offen.
-
Der sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine
Folge
in
mit
Dann
konvergiert
die Folge im genau dann, wenn alle Komponentenfolgen
in
konvergieren.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge.
Dann ist genau dann
abgeschlossen,
wenn jede Folge
,
die in
konvergiert,
bereits in
konvergiert.
Es sei
eine
Teilmenge
der
reellen Zahlen. Es sei
eine in
abgeschlossene
Teilmenge.
Wenn das
Supremum
in
existiert, so ist
.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig in jedem Punkt
.
- Für jeden Punkt
und jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
- Für jeden Punkt
und jede konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
- Für jede
offene Menge
ist auch das Urbild
offen.
Es seien
metrische Räume
und seien
stetige Abbildungen.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
stetig.
Es sei ein
metrischer Raum und seien
Funktionen
(für )
gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
Dann ist genau dann
stetig,
wenn alle Komponentenfunktionen
stetig sind.
Seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
Polynomfunktionen
sind stetig.
Es sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
stetig.
Es sei
eine
Teilmenge
der
reellen Zahlen.
Dann ist genau dann
zusammenhängend,
wenn
ein
(nichtleeres)
Intervall
ist.
Es seien
und
metrische Räume
und sei
eine
stetige Abbildung. Es sei
eine
zusammenhängende
Teilmenge.
Dann ist auch das Bild
zusammenhängend.
Es seien
reelle Zahlen
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
Es sei
ein
Intervall
und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei
. Für
ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei eine
beschränkte
Folge von
reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Es sei
eine Teilmenge.
Dann ist genau dann
kompakt,
wenn jede Folge in
eine in
konvergente
Teilfolge
besitzt.
Es sei
eine
kompakte Teilmenge
und
eine stetige Abbildung.
Dann ist auch das
Bild
kompakt.
Es sei
eine nichtleere
kompakte
Teilmenge und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Es sei
eine
kompakte Teilmenge
und sei
eine
stetige Abbildung
in einen
metrischen Raum
.
Dann ist
gleichmäßig stetig.
Es sei ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von
. Es sei
eine
Abbildung
in einen weiteren metrischen Raum und sei
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Abbildung
besitzt in
den Grenzwert
.
- Zu jeder
offenen Menge
mit
gibt es eine offene Menge
mit
und mit
.
- Für jede Folge
in
, die gegen
konvergiert, konvergiert die Bildfolge
gegen
.
Es seien
und
metrische Räume,
eine Teilmenge und
und für jedes
existiere der
Grenzwert
.
Dann ist die durch
definierte Abbildung eine
stetige Fortsetzung
von auf
.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge mit dem
Abschluss
. Es sei
eine gleichmäßig stetige Abbildung.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
Es sei
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
Es sei eine
positive
reelle Zahl.
Dann ist die Funktion
auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.
Es sei eine
positive
reelle Zahl. Dann besitzt die
Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei
eine Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann
konvergent,
wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Es sei
eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist
Es sei eine fallende
Nullfolge
von nichtnegativen
reellen Zahlen.
Dann
konvergiert
die
Reihe
.
Eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen
konvergiert.
Es sei eine
konvergente Reihe
von
reellen Zahlen
und
eine
Folge
komplexer Zahlen
mit
für alle
.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
Es sei
eine
Reihe
von
komplexen Zahlen. Es gebe eine
reelle Zahl
mit
und ein
mit
für alle
(Insbesondere sei
für
).
Dann konvergiert die Reihe
absolut.
Es sei eine
Indexmenge
und
,
,
eine
Familie
von
komplexen Zahlen.
Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.
Es sei
,
,
eine
summierbare Familie
von
komplexen Zahlen
mit der Summe
. Es sei
eine weitere Indexmenge und zu jedem
sei eine Teilmenge
gegeben mit
und
für
.
Dann sind die Teilfamilien
,
,
summierbar und für ihre Summen
gilt, dass die Familie
,
,
summierbar ist mit
Es seien
zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.
Dann ist auch das
Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt
Für jedes
ist die
Exponentialreihe
absolut konvergent.
Für
komplexe Zahlen
gilt
Die Exponentialfunktion
- Es ist
.
- Für jedes
ist
. Insbesondere ist
.
- Für ganze Zahlen
ist
.
- Für
reelles
ist
.
- Für reelle Zahlen
ist
und für
ist
.
- Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.
Die Funktionen
und
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Für
ist
Speziell gilt die eulersche Formel
-
- Es ist
und
.
- Es ist
und
.
- Es ist
und
-
- Es gelten die Additionstheoreme
und
-
- Es gilt
-
Es seien
und