Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Hintereinanderschaltung von Abbildungen

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),

und

H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),

Abbildungen.

Dann ist

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,.$

???: Bijektion und Umkehrabbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}F$ ist bijektiv.

Es gibt eine Abbildung
$G\colon M\longrightarrow L$
mit
$G\circ F=\operatorname {Id} _{L}{\text{ und }}F\circ G=\operatorname {Id} _{M}.$

Es gibt eine Abbildung ${}G\colon M\rightarrow L$ mit ${}G\circ F=\operatorname {Id} _{L}$ und es gibt eine Abbildung ${}H\colon M\rightarrow L$ mit ${}F\circ H=\operatorname {Id} _{M}$ .

???: Äquivalenzklassen und Quotientenmenge

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit den Äquivalenzklassen ${}[x]$ , ${}x\in M$ , und der Quotientenmenge ${}M/\sim$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn ${}[x]=[y]$ ist, und dies gilt genau dann, wenn ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$ .

Die Identifikationsabbildung
$q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$
ist surjektiv.

Es ist ${}q^{-1}(\{[x]\})=[x]$ .

???: Induktionsprinzip für Aussagen

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

${}A(0)$ ist wahr.
Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$ .

???: Schubfachprinzip

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und ${}N$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Es sei ${}m>n$ .

Dann gibt es keine injektive Abbildung

$M\longrightarrow N.$

???: Injektiv und surjektiv bei gleicher Anzahl

Seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}n$ Elementen. Dann sind für eine Abbildung

F\colon M\longrightarrow N

die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.

???: Induktive Definition

Es sei ${}(N,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und es sei ${}M$ eine Menge mit einem fixierten Element ${}s\in M$ und einer Abbildung ${}F\colon M\rightarrow M$ .

Dann gibt es genau eine Abbildung

$\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$

die die beiden Eigenschaften

$\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

erfüllt.

???: Eigenschaften der Addition auf N

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition 4.7 festgelegten Addition.

Dann gelten folgende Aussagen.

${}n+0=n=0+n\,$

für alle ${}n$ , d.h. ${}0$ ist das neutrale Element für die Addition.

${}n+k'=(n+k)'=n'+k\,$

für alle ${}n,k\in \mathbb {N}$ .

Die Addition ist kommutativ.

Die Addition ist assoziativ.

Aus einer Gleichung ${}n+k=m+k$ folgt
${}n=m\,$
(Abziehregel).

???: Eigenschaften der Multiplikation auf N

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition 4.10 festgelegten Multiplikation.

Dann gelten folgende Aussagen.

Es gilt
${}0\cdot n=0=n\cdot 0\,$

für alle ${}n$ ,

Es gilt
${}1\cdot n=n=n\cdot 1\,$

für alle ${}n$ , d.h. ${}1=0^{\prime }$ ist das neutrale Element für die Multiplikation.

Es ist
${}n\cdot k'=n\cdot k+n=k'\cdot n\,$

für alle ${}n,k\in \mathbb {N}$ .

Die Multiplikation ist kommutativ.

Die Multiplikation ist assoziativ.

Aus einer Gleichung ${}n\cdot k=m\cdot k$ mit ${}k\neq 0$ folgt ${}n=m$ (Kürzungsregel).

Für beliebige ${}k,m,n\in \mathbb {N}$ gilt
${}k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n\,$

(Distributivgesetz).

???: Lösbarkeit von Gleichungen bei Gruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$ .

???: Ganze Zahlen bilden ...

Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ bilden einen kommutativen Ring.

???: Negatives und Inverses

In einem Körper ${}K$ ist zu einem Element ${}x\in K$ das Element ${}y$ mit ${}x+y=0$ eindeutig bestimmt. Bei ${}x\neq 0$ ist auch das Element ${}z$ mit ${}xz=1$ eindeutig bestimmt.

???: Elementare Eigenschaften in Körper

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

${}a0=0$ (Annullationsregel).

${}(-a)b=-ab=a(-b)\,$

(Vorzeichenregel).

${}(-a)(-b)=ab\,.$

${}a(b-c)=ab-ac\,$

Aus ${}a\cdot b=0$ folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$ (Nichtnullteilereigenschaft).

${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}$ (allgemeines Distributivgesetz).

???: Pascaldreieck

Die Binomialkoeffizienten

erfüllen die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$

???: Binomi

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$ . Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

???: Betragseigenschaften

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
folgende Eigenschaften (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$ ).

Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$ .

Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.

Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.

Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$ .

Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$ .

Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$ .

Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).

Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$ .

???: Bernoulli Ungleichung

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes ${}x\in K$ mit ${}x\geq -1$ die Abschätzung

{}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.

???: Rationale Zahlen in archimedisch angeordneten Körper

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen ${}x<y$ auch eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$ ) mit

${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

???: Potenzen von x

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x>1$ .

Dann gibt es zu jedem ${}B\in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\geq B\,.$

???: Konvergente Folge ist ...

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in ${}K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

???: Rechenregeln für konvergente Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

Für ${}c\in K$ gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,.$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

???: Quetschkriterium

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$ . Es gelte

x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ .

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ .

???: Intervallschachtelung für eulersche Zahl

Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ , ${}n\geq 1$ , mit den Grenzen

$a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

definieren eine Intervallschachtelung.

???: Komplexe Zahlen bilden ...

Die komplexen Zahlen

bilden einen Körper.

???: Real und Imaginärteil

Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen erfüllen folgende Eigenschaften (für ${}z$ und ${}w$ aus ${}{\mathbb {C} }$ ).

Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$ .

Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$ .

Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$ .

Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist
$\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

???: Komplexe Konjugation

Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Rechenregeln (für beliebige ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ ).

Es ist ${}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ .

Es ist ${}{\overline {-z}}=-{\overline {z}}$ .

Es ist ${}{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$ .

Für ${}z\neq 0$ ist ${}{\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$ .

Es ist ${}{\overline {\overline {z}}}=z$ .

Es ist ${}{\overline {z}}=z$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist.

???: Komplexe Konjugation und Inverses

Für eine komplexe Zahl ${}z$ gelten die folgenden Beziehungen.

Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$ .

Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ .

Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$ .

Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}$ .

Für ${}z\neq 0$ ist ${}z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$ .

???: Betrag von komplexen Zahlen

Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.

Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$ .

Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.

Es ist ${}\vert {z}\vert =0$ genau dann, wenn ${}z=0$ ist.

Es ist ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert$ .

Es ist ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \cdot \vert {w}\vert$ .

Für ${}z\neq 0$ ist ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$ .

Es ist ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert$ .

Es ist ${}\vert {z+w}\vert \leq \vert {z}\vert +\vert {w}\vert$ (Dreiecksungleichung).

???: Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

Sei ${}U_{j}$ , ${}j\in J$ , eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt
$U=\bigcap _{j\in J}U_{j}$
ein Untervektorraum.

Zu einer Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum von ${}V$ . Er stimmt mit dem Durchschnitt
$\bigcap _{U\subseteq V{\text{ Untervektorraum}},\,v_{i}\in U{\text{ für alle }}i\in I}U$
überein.

Die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn
$\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V$
ist.

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

???: Eliminationslemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$ , das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.

???: Charakterisierungen von Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Die Familie ist eine Basis von ${}V$ .

Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.

Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

???: Existenz von Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

???: Austauschlemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ . Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

{}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$ .

Dann ist auch die Familie

$v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

eine Basis von ${}V$ .

???: Austauschsatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis

b_{1},\ldots ,b_{n}.

Ferner sei

u_{1},\ldots ,u_{k}

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$ .

Dann gibt es eine Teilmenge

${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I\,$

derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist.

Insbesondere ist ${}k\leq n$ .

???: Anzahl von Basiselementen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

???: Dimension von Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist ${}U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

${}\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

???: n Vektoren in

{}K^{n}

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ . Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

???: Basisergänzungssatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ . Es seien

u_{1},\ldots ,u_{k}

linear unabhängige Vektoren in ${}V$ .

Dann gibt es Vektoren

$u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

eine Basis von ${}V$ bilden.

???: Lineare Abbildung und Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$ , ${}i\in I$ , Elemente in ${}W$ .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$
mit
$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

???: Kernkriterium für Injektivität

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

???: Dimensionsformel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

???: Isomorphe Vektorräume

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$ -dimensionaler ${}K$ -Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$ .

???: Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Dann sind die in Definition 13.4 festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

???: Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.

${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

???: Basiswechsel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ . Es sei

{}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$ , die wir zur ${}n\times n$ - Matrix

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$ , der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

???: Basiswechsel für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {u}}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ Basen von ${}W$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$ durch die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.

Dann wird ${}\varphi$ bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ durch die Matrix

$M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$

beschrieben, wobei ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ und von ${}{\mathfrak {w}}$ nach ${}{\mathfrak {z}}$ beschreiben.

???: Basiswechsel für Endomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$ .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}\,.$

???: Rang von Matrix und linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

???: Zeilenrang und Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 13.13 verwendeten Zahl ${}r$ .

???: Strukturelle Eigenschaften der Determinante I

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ , für je ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für ${}u,w\in K^{n}$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

und für ${}s\in K$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

gilt.

???: Strukturelle Eigenschaften der Determinante II

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

alternierend.

???: Charakterisierung von invertierbar mit Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Es ist ${}\det M\neq 0$ .

Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.

${}M$ ist invertierbar.

Es ist ${}\operatorname {rang} \,M=n$ .

???: Eigenschaften von Determinantenfunktionen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Es sei

\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt ${}\triangle$ folgende Eigenschaften.

Wenn man eine Zeile von ${}M$ mit ${}s\in K$ multipliziert, so ändert sich ${}\triangle$ um den Faktor ${}s$ .

Wenn in ${}M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist ${}\triangle (M)=0$ .

Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich ${}\triangle$ mit dem Faktor ${}-1$ .

Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich ${}\triangle$ nicht.

Wenn ${}\triangle (E_{n})=1$ ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix ${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}$ .

???: Charakterisierung der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$

mit

${}\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1\,,$

wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

???: Multiplikationssatz für Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

???: Entwicklung nach beliebiger Spalte und Zeile

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$ -te Zeile und die ${}j$ -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$ )

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

???: Adjungierte Matrix und Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ .

Dann ist

${}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=(\det M)E_{n}=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })\,$

Wenn ${}M$ invertierbar ist, so ist

{}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.

???: Cramersche Regel

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für ${}x_{j}$ durch ${}x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$ .

???: Eigenraum als Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}\,.$

???: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ .

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

???: Diagonalisierbare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist diagonalisierbar.

Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.

Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass
$BMB^{-1}$

eine Diagonalmatrix ist.

???: Division mit Rest

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

???: Linearer Faktor und Nullstelle

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ .

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ , wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

???: Eigenwert und charakteristisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ , wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

???: Geometrische und algebraische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$ .

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

???: Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

???: Der Satz von Cayley-Hamilton

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Es sei

{}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,

das charakteristische Polynom zu ${}M$ .

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

???: Ungleichung von Cauchy-Schwarz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$ .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$ .

???: Abstandseigenschaften

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$ ).

Es ist ${}d(v,w)\geq 0$ .

Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$ .

Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$ .

Es ist
${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

???: Isometrie und Längentreue

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist eine Isometrie.

Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$ .

Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$ .

???: Eigenwerte von Isometrien

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$ .

???: Eigenschaften von offenen Mengen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.

Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
$\bigcup _{i\in I}U_{i}$

offen.

Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
$\bigcap _{i\in I}U_{i}$

offen.

???: Konvergenz in

{}\mathbb {R} ^{n}

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

{}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.

Dann konvergiert die Folge im ${}\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

???: Abgeschlossene Mengen und konvergente Folgen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ , die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.

???: Supremum zu abgeschlossenen Mengen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es sei ${}A\subseteq T$ eine in ${}T$ abgeschlossene Teilmenge.

Wenn das Supremum ${}{\operatorname {sup} \,(A)}$ in ${}T$ existiert, so ist ${}{\operatorname {sup} \,(A)}\in A$ .

???: Charakterisierung stetiger Abbildungen

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$ .

Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.

Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$ .

Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.

???: Hintereinanderschaltung stetiger Abbildungen

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

f:L\longrightarrow M\,\,{\text{  und }}\,\,g:M\longrightarrow N

stetige Abbildungen.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig.

???: Stetigkeit von Komponentenfunktionen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien Funktionen

f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }

(für $i=1,\ldots ,m$ ) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung

f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.

Dann ist ${}f$ genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen ${}f_{i}$ stetig sind.

???: Verknüpfungen von stetigen Funktionen

Seien

f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$
$f\cdot g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$
stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ , auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$
stetig.

???: Stetigkeit von Polynomen

Polynomfunktionen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto P(x),$

sind stetig.

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ stetig.

???: Zusammenhängende Teilmengen von

{}R

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann ist ${}T$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.

???: Bilder zusammenhängender Räume

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und sei

f\colon L\longrightarrow M

eine stetige Abbildung. Es sei ${}S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge.

Dann ist auch das Bild

$f(S)$

zusammenhängend.

???: Zwischenwertsatz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$ .

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$ .

???: Stetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

${}J:=f(I)\,$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls stetig.

???: Wurzelfunktionen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},

ist streng wachsend und stetig.

???: Bolzano-Weierstraß

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

???: Folgencharakterisierung von kompakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.

???: Bilder kompakter Mengen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild ${}f(T)$ kompakt.

???: Maximum auf kompakten Mengen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in T$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

???: Stetig auf kompakten Mengen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei

f\colon T\longrightarrow M

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum ${}M$ .

Dann ist ${}f$ gleichmäßig stetig.

???: Charakterisierungen des Grenzwerts einer Abbildung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow L

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}b\in L$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Die Abbildung ${}f$ besitzt in ${}a$ den Grenzwert ${}b$ .

Zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq L$ mit ${}b\in V$ gibt es eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und mit ${}f(U\cap T)\subseteq V$ .

Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ , die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ .

???: Stetige Fortsetzung und Grenzwert

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, ${}T\subseteq L$ eine Teilmenge und

f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine stetige Abbildung. Es sei

{}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}\,

und für jedes ${}a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ .

Dann ist die durch

${}{\tilde {f}}(a):={\begin{cases}f(a)\,,{\text{ falls }}a\in T\,,\\\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x),\,{\text{ falls }}a\in {\tilde {T}}\setminus T\,,\end{cases}}\,$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von ${}f$ auf ${}{\tilde {T}}$ .

???: Stetige Fortsetzbarkeit bei gleichmäßig stetig

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit dem Abschluss ${}{\overline {T}}$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine gleichmäßig stetige Abbildung.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

???: Stetige Fortsetzbarkeit von

{}\mathbb {Q}

nach

{}\mathbb {R}

Es sei

f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

???: Gleichmäßige Stetigkeit der rationalen Exponentialfunktion

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

???: Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},

folgende Eigenschaften.

Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$ .

Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$ .

Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$ .

Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.

Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.

Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ .

Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$ .

???: Cauchykriterium für Reihen

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m=n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

???: Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

???: Leibnizkriterium für alternierende Reihen

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$ .

???: Absolute Konvergenz und Konvergenz

Eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen

konvergiert.

???: Majorantenkriterium

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$ .

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

???: Geometrische Reihe

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

{}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.

???: Quotientenkriterium

Es sei

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

{}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,

für alle ${}k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$ ).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

???: Cauchy-Kriterium für summierbar

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

???: Großer Umordnungssatz

Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$ . Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$ .

Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$ , summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$ , summierbar ist mit

${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

???: Konvergenz des Cauchy-Produkts

Es seien

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

???: Konvergenz der Exponentialreihe

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}

absolut konvergent.

???: Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

???: Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,

besitzt folgende Eigenschaften.

Es ist ${}\exp 0=1$ .

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist ${}\exp \left(-z\right)=(\exp z)^{-1}$ . Insbesondere ist ${}\exp z\neq 0$ .

Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$ .

Für reelles ${}z$ ist ${}\exp z\in \mathbb {R} _{+}$ .

Für reelle Zahlen ${}z>0$ ist ${}\exp z>1$ und für ${}z<0$ ist ${}\exp z<1$ .

Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

???: Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die Funktionen

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,

und

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,

besitzen für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist
${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

Speziell gilt die eulersche Formel

${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$ .

Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$ .

Es ist
${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

und

${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

Es gelten die Additionstheoreme
${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

und

${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

Es gilt
${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

???: Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

Es seien ${}L$ und ${}M$

metrische Räume und es sei

f_{n}\colon L\longrightarrow M