Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 33

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe

Sei . Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und es sei

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion


Aufgabe

Sei . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

unter Verwendung der Stammfunktion von und Satz 33.5.


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral , wobei die Funktion durch

gegeben ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und es sei

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Sei nun zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

Zeige, dass eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable nicht mehr als Argument der Funktion auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Intervall. Zu einer stetig differenzierbaren Funktion

heißt die Funktion

die logarithmische Ableitung von . Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus

definiert.




Aufgaben zum Hochladen

Wie im letzten Semester wird es auch in diesem Semester vereinzelt Aufgaben geben, bei denen graphisches Illustrationsmaterial angefertigt werden soll, das das Skript bzw. die Kursseite verschönern soll. Die zu erzielenden Punkte werden am Ende des Semesters gut geschrieben. Für weitere Informationen siehe hier.

Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die den Mittelwertsatz der Integralrechnung illustriert (mit flächengleichem Rechteck und Durchschnittshöhe).


Aufgabe (8 Punkte)

Man schreibe eine Computeranimation, die den Beweis des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung illustriert (mit flächengleichen Rechtecken zu den bestimmten Integralen zur Intervalllänge .).


Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die den geometrischen Hintergrund zur Berechnung der Stammfunktion einer Umkehrfunktion illustriert.



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