Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 33.5.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral ${}\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion ${}f$ durch

$f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ${}f\circ \varphi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun ${}\varphi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds\,$

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

${}f(x)=\int _{0}^{x}\sin(t)g(x-t)dt\,$

für ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

${}f^{\prime \prime }+f=g\,.$

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable ${}x$ nicht mehr als Argument der Funktion ${}g$ auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (3 Punkte)

Differenzierbare Funktion/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Aufgaben zum Hochladen

Wie im letzten Semester wird es auch in diesem Semester vereinzelt Aufgaben geben, bei denen graphisches Illustrationsmaterial angefertigt werden soll, das das Skript bzw. die Kursseite verschönern soll. Die zu erzielenden Punkte werden am Ende des Semesters gut geschrieben. Für weitere Informationen siehe hier.

Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die den Mittelwertsatz der Integralrechnung illustriert (mit flächengleichem Rechteck und Durchschnittshöhe).

Aufgabe (8 Punkte)

Man schreibe eine Computeranimation, die den Beweis des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung illustriert (mit flächengleichen Rechtecken zu den bestimmten Integralen zur Intervalllänge ${}h$.).

Aufgabe (4 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die den geometrischen Hintergrund zur Berechnung der Stammfunktion einer Umkehrfunktion illustriert.