Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 32

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Funktion und es sei eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die durch

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit für alle und sei eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

absolut konvergent ist.


Aufgabe

Sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt mit , dann gilt


Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung
eine einzige Lösung besitzt.


Aufgabe

Seien

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

Beweise, dass es ein mit gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

zwei stetige Funktionen und es sei für alle . Zeige, dass es dann ein gibt mit


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen und mit

eingeschlossen wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

Zeige, unter Bezug auf die Funktion , dass eine Stammfunktion besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)

Aufgabe * (3 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

derart, dass es keine (endliche) Zerlegung des Intervalls gibt, so dass die Einschränkungen stetig sind.


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

derart, dass es ein gibt mit der Eigenschaft, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle größer ist als dasjenige zu Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).

(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)



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