Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 37/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe, warum die Fakultätsfunktion stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}k\in \mathbb {N}$ die Beziehung

$\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Kollektivaufgabe

Auf vielfältigen Wunsch hin darf in der Testklausur 1 eine in Wikiversity zu erstellende gemeinsame Formelsammlung verwendet werden. Dadurch soll das Gedächtnis für Wichtigeres geschont werden. Sie ist aber nicht dafür gedacht, grundlegende theoretische Zusammenhänge, die jeder Mathematiker wissen muss, extern abzuspeichern (also beispielsweise Substitutionsregel u. Ä.). Die Formelsammlung darf lediglich konkrete numerische Beziehungen enthalten, aber keine Definitionen oder Sätze. Einzelheiten sind verhandelbar, Akkreditierung durch den Dozenten. Siehe hier.