Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen

$y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$

sowie die in Beispiel 39.4, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 angegebenen Lösungskurven.

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 39.4, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

$y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$

durch Ableiten.

Aufgabe

Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

${}y'=y\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=e^{y},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'={\frac {1}{\sin y}},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

${}y'=ty\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Betrachte die in Beispiel 39.9 gefundenen Lösungen

${}y(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,$

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete ${}s$ und ${}g$).

b) Bestimme die Grenzwerte für ${}t\rightarrow \infty$ und ${}t\rightarrow -\infty$.

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche ${}t$ besitzt die Ableitung von ${}y(t)$ ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot y^{2}\,$

mit einer stetigen Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

auf einem Intervall ${}I'$ die Lösungen

${}y(t)=-{\frac {1}{G(t)}}\,$

besitzt, wobei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ mit ${}G(I')\subseteq \mathbb {R} _{+}$ sei.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=ty^{2},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=t^{3}y^{3},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein beschränktes Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}a$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass die Folge

$w_{n}=\int _{x_{n}}^{y_{n}}f(t)\,dt$

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.