Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 39

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen

sowie die in Beispiel 39.6, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 angegebenen Lösungskurven.


Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 39.6, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

durch Ableiten.


Aufgabe


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe

Betrachte die in Beispiel 36.9 gefundenen Lösungen

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete und ).

b) Bestimme die Grenzwerte für und .

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche besitzt die Ableitung von ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form

mit einer stetigen Funktion

auf einem Intervall die Lösungen

besitzt, wobei eine Stammfunktion zu mit sei.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein beschränktes Intervall und es sei

eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.



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