Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}n\times n$ -Matrix über ${}{\mathbb {K} }$ . Es sei ${}\varphi _{1}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

{}v'=Mv+z_{1}(t)\,

und ${}\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

{}v'=Mv+z_{2}(t)\,.

Zeige, dass ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

{}v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)\,

ist.

Es sei

{}v'=Mv\,

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${}L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$ . Zeige, dass die Abbildung

L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),

Wie transformieren sich in Lemma 56.2 die Anfangsbedingungen?

{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.

{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.

Aufgaben zum Abgeben

{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.

{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.

{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.

Es sei ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.