Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/29/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 1 6 2 2 3 3 2 4 5 2 4 6 5 2 2 2 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
  3. Eine gerade Funktion .
  4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  5. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  2. Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion .
  3. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f f
f w w
f f f


Aufgabe * (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

  1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
  2. Es sei die Menge der Töpfe und die Menge der Deckel. Es sei ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für und ) besagt, dass auf passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
  3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
  4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die -te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass maximal Nullstellen besitzt.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

  1. Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die -Achse, die Parabel und die durch bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.
  2. Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .