Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	2	3	5	1	4	2	4	4	4	3	4	8	4	5	1	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

$p$	$q$	$r$	$?$
w	w	w	w
w	w	f	f
w	f	w	w
w	f	f	f
f	w	w	f
f	w	f	w
f	f	w	f
f	f	f	w

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien $M_{1}, \dots, M_{k}$ und $N_{1}, \dots, N_{k}$ nichtleere Mengen und

φ_{i} : M_{i} ⟶ N_{i}

Abbildungen für $i = 1, \dots, k$ . Es sei $M = M_{1} \times \dots \times M_{k}$ , $N = N_{1} \times \dots \times N_{k}$ , und $φ$ die Produktabbildung, also

φ : M ⟶ N, (x_{1}, \dots, x_{k}) ⟼ (φ_{1} (x_{1}), \dots, φ_{k} (x_{k})) .

a) Zeige, dass $φ$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $φ_{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass

{(\frac{8}{7})}^{n} \geq 1000

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ganzzahligen Lösungen $x \neq 0$ der Ungleichung

\frac{\frac{3}{x}}{\frac{- 7}{4}} > - 1 .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

(\frac{2}{5} - \frac{3}{7} \sqrt{3}) \cdot (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{3}) .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in $ℝ$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $f : ℝ \to ℝ$ eine stetige Funktion mit $f (0) = 0$ und sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Nullfolge. Zu $k \in ℕ_{+}$ bezeichne $f^{k}$ die $k$ -fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst.

Sei $k$ fixiert. Zeige, dass die Folge $f^{k} (x_{n})$ , $n \in ℕ$ , eine Nullfolge ist.
Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge $f^{n} (x_{n})$ , $n \in ℕ$ , keine Nullfolge sein muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))).

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für $x \in ℝ$ , $x \geq 1$ , die Gleichheit

arcosh x = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

gilt.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Sinusfunktion

f (x) = \sin x

auf $[0, π]$ und den oberen Halbkreis (mit Radius $\frac{π}{2}$ ) oberhalb dieses Intervalls.

Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion $g (x)$ .
Zeige, dass
$g (x) \geq f (x)$

für alle $x \in [0, π]$ gilt. Tipp: Betrachte die Situation für $0 \leq x \leq π / 6$ und für $π / 6 \leq x \leq π / 2$ .
Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$ . Es sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M \in {Mat}_{m \times n} (K)$ beschrieben werde. Zeige, dass $φ$ genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in $K^{m}$ sind.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es seien $A$ und $B$ quadratische Matrizen über einem Körper $K$ . Zeige

det (A \circ B) = det (B \circ A) .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.