Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 6 5 4 3 4 3 3 2 5 4 4 5 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Eine ungerade Funktion .
  3. Eine reelle Intervallschachtelung.
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    (welche Voraussetzungen muss die Funktion und das Intervall erfüllen)?
  2. Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

über den Ansatz


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * (3 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix