Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/41/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 4 3 2 8 4 2 8 3 4 8 3 1 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Eine fallende Funktion .
  4. Die Exponentialreihe für .
  5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  6. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?


Aufgabe * (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen konvergiert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ) und darin eingeschriebene regelmäßige -Ecke.

  1. Circumscribed2.png

    In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  2. Hagalaz.jpg

    In den Kreis sei ein regelmäßiges -Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen -Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen -Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?


Aufgabe * (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung von gleich ist.


Aufgabe * (8 (2+5+1) Punkte)

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu einer Geraden , , die Schnittpunkte mit dem Graphen von .

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt mit , sein Basispunkt und der Nullpunkt ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.


Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

a) Es sei ein -Vektorraum der Dimension . Wie viele Elemente besitzt ?

b) Zeige, dass ein -Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein -dimensionaler -Vektorraum?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.