Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven}
Die folgende Aussage vergleicht die Durchschnittsgeschwindigkeit einer differenzierbaren Kurve mit der Momentangeschwindigkeit, also der Ableitung.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {[a,b] } {V
} {t} {f(t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(b)-f(a)} \Vert
}
{ \leq} { (b-a) \cdot \Vert {f'(c)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ = }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \neq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1
}
{ = }{ { \frac{ f(b) - f(a) }{ \Vert { f(b) - f(a)} \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach dem
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
Teil einer
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} die
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
von $f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den
Mittelwertsatz für eine Variable
auf die erste Komponentenfunktion $f_1$ an. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_1(b) -f_1(a)
}
{ =} { (b-a) \cdot f_1'(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f_1(b) -f_1(a) }
}
{ =} { \betrag { b-a } \cdot \betrag { f_1'(c) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {f(b)-f(a)} \Vert
}
{ =} { \Vert {(f_1(b)-f_1(a)) u_1} \Vert
}
{ =} { \betrag { f_1(b)-f_1(a) }
}
{ =} { \betrag { b-a } \cdot \betrag { f_1'(c) }
}
{ \leq} { \betrag { b-a } \cdot \sqrt{ \sum_{i = 1}^n { \left( f_i'(c) \right) }^2 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \betrag { b-a } \cdot \Vert {f'(c)} \Vert
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die \stichwort {trigonometrische Parametrisierung} {} des \stichwort {Einheitskreises} {,} also die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {( \cos t , \sin t )
} {.}
Diese Abbildung ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(t)
}
{ =} {( - \sin t, \cos t )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f'(t)} \Vert
}
{ =} {\sqrt{ \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wählen wir das Intervall
\mathl{[0,2 \pi]}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {(1,0)
}
{ =} {f(2 \pi)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass in der
Mittelwertabschätzung
nicht Gleichheit gelten kann.
}
\zwischenueberschrift{Länge von Kurven}
Wir arbeiten im $\R^n$, versehen mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{.} Zu einer Kurve \maabbeledisp {f} { [a,b] } { \R^n } { t } { f(t) } {,} die wir uns als einen von der Zeit abhängigen Bewegungsvorgang im Raum vorstellen, wollen wir die Länge der Kurve definieren. Die Länge soll dabei den insgesamt zurückgelegten Weg beschreiben, nicht die Länge der zurückgelassenen Spur oder den Abstand von Start- und Zielpunkt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zu einer Unterteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { t_0
}
{ \leq} {t_1
}
{ \leq \ldots \leq} { t_{k-1}
}
{ \leq} {t_k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [P_0,P_1 , \ldots , P_k]
}
{ =} { [f(t_0),f(t_1) , \ldots , f(t_k)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen \definitionswort {Streckenzug}{.}
}
Dabei sollte man sich die Unterteilung als eine Zeit\-einteilung vorstellen und die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i
}
{ = }{f(t_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als die zugehörigen Ortspunkte der durch $f$ beschriebenen Bewegung im $\R^n$. Strenggenommen ist der Streckenzug einfach die geordnete Folge der Punkte, es ist aber suggestiver, sich darunter die stückweise lineare Verbindung dieser Punkte vorzustellen.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Punktfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_0,P_1 , \ldots , P_k
}
{ \in} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(P_0 , \ldots , P_k)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k d { \left( P_i, P_{i-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Gesamtlänge des Streckenzugs}{}
\mathl{[P_0,P_1 , \ldots , P_k]}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(f)
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( L(f(t_0) , \ldots , f(t_k)) ,
\mathdisplaybruchinklammer a = t_0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_{k-1} \leq t_k = b
\mathdisplaybruchinklammer \text{ Unterteilung} , \, k \in \N ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Kurvenlänge}{} von $f$. Wenn
\mathl{L(f)}{} endlich ist, so heißt die Kurve $f$ \definitionswort {rektifizierbar}{.}
}
Man nimmt hier also das Supremum über alle möglichen Unterteilungen des Definitionsintervalls. Ohne zusätzliche Eigenschaften der Kurve kann man nicht erwarten, dass man die Kurvenlänge effektiv bestimmen kann. Wenn die Kurve aber stetig differenzierbar ist, so lässt sich die Länge über ein Integral berechnen, wie die folgende Aussage zeigt. Inhaltlich gesprochen bedeutet sie, dass wenn sich beispielsweise ein Fahrzeug in der Ebene $\R^2$ bewegt, man die Gesamtlänge der zurückgelegten Strecke kennt, sobald man nur zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit \zusatzklammer {und zwar lediglich ihre Norm, die Richtung muss man nicht kennen} {} {} kennt. Die Länge ist dann das Integral über die Norm der Geschwindigkeit.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{}
und für die
\definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(f)
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {f'(t)} \Vert \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, existiert nach
Satz 24.3
das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
über alle
\definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{}
zu
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{}
der Funktion
\mathl{t \mapsto \Vert {f'(t)} \Vert}{.} Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ t_0
}
{ \leq \ldots \leq }{ t_k
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mathbed {\sum_{i=1}^k (t_i-t_{i-1} ) w_i} {mit}
{w_i = {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) }} {}
{} {} {} {}
gegeben. Andererseits steht nach der Definition der
\definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{}
links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen
\mathdisp {\sum_{i=1}^k \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert} { . }
Aufgrund der
Mittelwertabschätzung
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert
}
{ \leq} { (t_i- t_{i-1} ) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^k \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^k (t_i- t_{i-1} ) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.
Nehmen wir an, dass das Supremum $u$ der linken Seite größer als das Infimum $v$ der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich
\mathl{u - { \frac{ 1 }{ 3 } } (u-v)}{,} und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich
\mathl{v + { \frac{ 1 }{ 3 } } (u-v)}{} ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt.
D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(f)
}
{ \leq} {\int_{ a }^{ b } \Vert {f'(t)} \Vert \, d t
}
{ \leq} { (b-a) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [a,b] ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [s,s']
}
{ \subseteq }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{L_a^s(f)}{} die Länge der auf
\mathl{[a,s]}{} definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion nach $s$ ableitbar und eine Stammfunktion zu
\mathl{t \mapsto \Vert {f'(t)} \Vert}{} ist. Für den zugehörigen
\definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{L_a^{s'}(f) - L_a^s(f)}{s'-s}
}
{ = }{ \frac{ L_s^{s'}(f)}{s'-s}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten die Abschätzungen
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s'
}
{ > }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \frac{ \Vert { f(s') -f(s)} \Vert }{s'-s}
}
{ \leq} { \frac{ L_s^{s'}(f)}{s'-s}
}
{ \leq} { \frac{(s'-s) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [s,s'] ) } }{s'-s}
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [s,s'] ) }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Für
\mathl{s' \rightarrow s}{} konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen
\mathl{\Vert {f'(s)} \Vert}{,} sodass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.
Die Rektifizierbarkeit ist schon in einer Variablen ein interessanter Begriff. Es lässt sich sogar die Rektifizierbarkeit darauf zurückführen. Dies bedeutet aber nicht, dass man die Berechnung der Kurvenlänge auf die Berechnung der Kurvenlängen der einzelnen Komponenten zurückführen könnte.
{Kurve im R^n/Rektifizierbar/Komponentenfunktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{,}
wenn sämtliche
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
rektifizierbar sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 35.18. }
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Rektifizierbarkeit}{}{}
ist schon für Funktionen
\maabbeledisp {f} {I} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
ein nicht-trivialer Begriff, siehe
Beispiel 35.9.
Wenn allerdings $f$
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionsverweis {fallend}{}{}} {} {}
ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ t_0
}
{ \leq }{ t_1
}
{ \leq \ldots \leq }{ t_k
}
{ = }{b
}
}
{}{}{}
ist dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^k \betrag { f(t_i) -f(t_{i-1}) }
}
{ =} {\sum_{i = 1}^k (f(t_i) -f(t_{i-1}))
}
{ =} {f(b) -f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn $f$ wachsend ist und
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{,}
so ergibt sich dies natürlich auch aus
Satz 35.6
und aus
Korollar 24.7.
Wenn $f$ allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral
\mathl{\int_{ a }^{ b } \betrag { f'(t) } \, d t}{} gibt es dann keine direkte Berechnung, da
\mathl{f'(t)}{} das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in
\zusatzklammer {eventuell unendlich viele} {} {}
Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {x} { f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ bei } x > 0 \, , \\ 0 \text{ bei } x = 0 \, , \end{cases}
} {}
ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
nach
Aufgabe *****,
aber nicht
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{.}
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{\frac{1}{n \pi + \frac{1}{2} \pi}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ = }{ \pm x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n)-f(x_{n-1}) }
}
{ \geq }{ 2x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wählt man dann die Unterteilungspunkte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ <} { x_{ k }
}
{ <} { x_{ k -1}
}
{ <} { \ldots
}
{ <} { x_1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { x_0
}
{ =} { \frac{2}{\pi}
}
{ <} {1
}
{ } {
}
}{}{,}
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ n = 1}^{ k } 2x_n
}
{ =} {2 \cdot \sum_{ n = 1}^{ k } \frac{1}{n \pi + \frac{1}{2} \pi}
}
{ =} { \frac{2}{\pi} \cdot \sum_{ n = 1}^{ k } \frac{1}{n + \frac{1}{2} }
}
{ \geq} { \frac{2}{\pi} \cdot \sum_{ n = 1}^{ k } \frac{1}{n + 1 }
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wegen der
\definitionsverweis {Divergenz}{}{}
der
\definitionsverweis {harmonischen Reihe}{}{}
ist dieser Ausdruck für
\mathl{{ k } \rightarrow \infty}{} nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.
}
\inputfaktbeweis
{Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $f$ gleich
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } \sqrt{1+ (f'(x))^2} \, d x} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Mit der Länge des Graphen ist die Länge der durch
\mathl{x \mapsto g(x) = (x,f(x))}{} definierten Kurve gemeint. Die Ableitung dieser Kurve ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ = }{ (1,f'(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Länge dieser Kurve nach
Satz 35.6
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g'(x)} \Vert \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \sqrt{ 1 +( f'(x))^2} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen die Länge der \stichwort {Standardparabel} {} berechnen, also die Länge der durch
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} {(t,t^2)
} {,}
gegebenen Kurve. Nach
Korollar 35.10
ist die Länge von
\mathkor {} {0} {nach} {b} {}
unter Verwendung von
Fakt *****
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ 0 }^{ b } \sqrt{1+4x^2} \, d x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \int_{ 0 }^{ 2b } \sqrt{1+u^2} \, d u
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( u \sqrt{1+u^2} + \, \operatorname{arsinh} \, u \, \right) } | _{ 0 } ^{ 2b }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } b \sqrt{1+4b^2} + { \frac{ 1 }{ 4 } } \, \operatorname{arsinh} \, (2b) \,
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
Wir berechnen nun die Länge des Kreisbogens auf zwei verschiedene Arten.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[-1,1]} { \R
} {x} {f(x) = \sqrt{1-x^2}
} {,}
die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \frac{1}{2} \frac{-2x}{ \sqrt{ 1-x^2 } }
}
{ =} { - \frac{x}{ \sqrt{ 1-x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei diese Gleichheit nur im Innern
\mathl{]{-1},1[}{} Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier
Satz 35.6
zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{ 1 + \frac{x^2} { 1-x^2} }
}
{ =} { \sqrt{ \frac{1-x^2 +x^2} { 1-x^2} }
}
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{1-x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
davon ist
\mathl{\arcsin x}{} gemäß
Fakt *****.
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { \int_{ -1 }^{ 1 } \frac{1}{ \sqrt{ 1-x^2} } \, d x
}
{ =} { \arcsin x | _{ -1 } ^{ 1 }
}
{ =} { \frac{\pi}{2} - { \left( - \frac{\pi}{2} \right) }
}
{ =} { \pi
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die \stichwort {trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises} {,} also die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {f(t) = ( \cos t , \sin t )
} {.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(t)
}
{ =} { (- \sin t , \cos t )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist die
\definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{}
eines von
\mathkor {} {a} {bis} {b} {}
durchlaufenen Teilstückes
nach Satz 35.6
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_a^b(f)
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } \sqrt{ (- \sin t )^2 + ( \cos t ) ^2 } \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } 1 \, d t
}
{ =} {b-a
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der
Periodizität
der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von
\mathkor {} {0} {bis} {2 \pi} {}
genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher $2 \pi$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei ein Punkt $V$ auf der Peripherie eines Kreises mit Radius $1$ fixiert
\zusatzklammer {beispielsweise ein Ventil} {} {.}
Die \stichwort {Zykloide} {} ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden
\zusatzklammer {der $x$-Achse} {} {}
abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn $t$ den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt $V$ sich zum Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{(0,0)}{} befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch
\maabbeledisp {W} {\R} {\R^2
} {t} { W(t) = \left( t- \sin t , \, 1 - \cos t \right)
} {.}
beschrieben.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cycloid_f.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cycloid f.gif } {} {Zorgit} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um $2 \pi$. Die Ableitung dieser Kurve ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W'(t)
}
{ =} { \left( 1 - \cos t , \, \sin t \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Länge der Zykloide
\zusatzklammer {also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges} {} {}
ist nach
Satz 35.6
im Zeitintervall von
\mathkor {} {0} {nach} {s} {}
gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ 0 }^{ s } \sqrt{ (1- \cos t)^2 + \sin^{ 2 } t } \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ s } \sqrt{ 2- 2 \cos t } \, d t
}
{ =} { \sqrt{2} \int_{ 0 }^{ s } \sqrt{ 1- \cos t } \, d t
}
{ =} { 2 \sqrt{2} \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \sqrt{ 1- \cos 2 u } \, d u
}
{ =} { 2 \sqrt{2} \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \sqrt{ 1- \cos^{ 2 } u + \sin^{ 2 } u } \, d u
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \sqrt{2} \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \sqrt{ 2 \sin^{ 2 } u } \, d u
}
{ =} { 4 \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \sqrt{ \sin^{ 2 } u } \, d u
}
{ =} { 4 \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \betrag { \sin u } \, d u
}
{ =} { 4 \int_{ 0 }^{ \frac{s}{2} } \sin u \, d u
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 4 { \left( - \cos u | _{ 0 } ^{ \frac{s}{2} } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{,}
wobei die letzte Umformung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \leq }{ 2 \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ 2 \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4 \cdot 2
}
{ = }{ 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
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