Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion nach ${}n$ unter Verwendung der partiellen Integration

${}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx={\frac {m!n!}{(m+n+1)!}}\,.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

$a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

$[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,$

beschrieben. Dabei ist ${}x$ die Zeit in Stunden und ${}y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 20.4.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$

die Substitution ${}y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe den Zusammenhang

${}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}+3e^{x}-\sin x,$

über ${}[-1,0]$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$

über ${}[1,4]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Tipp: Man schreibe das Zählerpolynom unter Verwendung des Nennerpolynoms.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für alle ${}x>0$. Für welche Punkte ${}t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?