Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 4

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Aufgabe

Es sei die Menge aller weiblichen Doppelvornamen (Bindestrichvornamen, wobei die einzelnen Teile einfache Vornamen sind). Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Doppelvornamenpaar den Doppelvornamen zuordnet.

  1. Was ist der Wert von unter dieser Verknüpfung?
  2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  4. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
  5. Ist die Verknüpfung surjektiv?
  6. Ist die Verknüpfung injektiv?


Aufgabe *

Zeige, dass in einem Körper zu jedem Element das Element mit eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Zeige, dass die folgenden Vorzeichenregeln gelten.


Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit . Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für natürliche Exponenten .


Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Aufgabe *

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Aufgabe

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein von verschiedenes Element in einem Körper. Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei und .

  1. Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
  2. Sei zusätzlich . Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel



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