Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 3

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

die Mengen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. .


Venn diagram gr la ru.svg

Aufgabe

Es sei die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .


Aufgabe *

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe

Es seien und drei Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.

  1. Modus Barbara: Aus und folgt .
  2. Modus Celarent: Aus und folgt .
  3. Modus Darii: Aus und folgt .
  4. Modus Ferio: Aus und folgt .
  5. Modus Baroco: Aus und folgt .


Aufgabe

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus auf schließen?


Aufgabe

Skizziere die Produktmenge als Teilmenge von .


Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

  1. Ein Geradenstück .
  2. Eine Kreislinie .
  3. Eine Kreisscheibe .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?


Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

  1. Skizziere die Menge und die Menge .
  2. Bestimme den Durchschnitt zeichnerisch und rechnerisch.


Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.

Aufgabe *

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine Menge von Personen und die Menge der Vornamen von diesen Personen und die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von nach , nach und nach und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.


Aufgabe

ProbabilityDensityFunctionWindpowerGeneration.png
DOE 2016. Cost Reductions Since 2008.jpg
Stromgestehungskosten Deutschland 2018 laut Fraunhofer ISE.png
Arbeit-windenergie.jpg
Wind-generation.svg
Stromerzeugung aus Windenergie in Deutschland 2015.png

Bestimme für die folgenden Diagramme, welche empirischen Abbildungen in ihnen dargestellt werden (sollen). Was sind jeweils die Definitionsmengen, die Wertemengen, mit welchen Einheiten wird gearbeitet? Wird (pro Bild) nur eine Abbildung dargestellt oder mehrere? Handelt es sich überhaupt um Abbildungen? Welche Informationen werden über die Abbildung hinaus gegeben? Werden die empirischen Abbildungen mathematisiert?


















Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .


Aufgabe

Untersuche für jedes die Funktion

auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe

Wie sehen die Graphen der Funktionen aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?


Non-injective function.svg

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?


Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen (oder zwischen Teilmengen von ) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?


Aufgabe

Es seien und Mengen. Zeige, dass die Abbildung

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen und festlegt.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Es sei

eine Abbildung, die

und erfüllt. Zeige, dass dann die Umkehrabbildung von ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen und , die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Sind die Abbildungen , , injektiv?
  3. Sind die Abbildungen , , surjektiv?


Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe

  1. Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
  2. Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
  3. Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zulezt) konstant?


Aufgabe *

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe *

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. Es gibt eine Menge mit ,
  6. Es gibt eine Menge mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten einen Computer, der nur zwei Speicher besitzt, in denen jeweils eine natürliche Zahl stehen kann. Zu Beginn eines jedes Programms lautet die Belegung . Der Computer kann einen Speicher leeren, einen Speicher um erhöhen, zu Befehlen springen und die beiden Inhalte der Speicher der Größe nach miteinander vergleichen. Ferner kann es zu einem Befehl wechseln, wenn die Vergleichsbedingung erfüllt ist. Schließlich gibt es einen Druckbefehl, bei dem das momentane Belegungspaar ausgedruckt wird. Schreibe ein Computerprogramm, das jedes Paar genau einmal ausdruckt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)