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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 46

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Übungsaufgaben

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung .



Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung .



Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.



Es sei

eine Funktion. Zeige, dass in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn in in Richtung differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

gilt.



Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung .



Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Es sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Zeige, dass in in Richtung genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall um definierte) Kurve

in differenzierbar ist, und dass in diesem Fall

gilt.

Wie muss dabei das Intervall gewählt werden?


Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion

existieren.



Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der euklidischen Norm

existiert.



Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der Funktion

existiert.



Untersuche die Funktion

im Nullpunkt auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von auf im Nullpunkt ein Extremum besitzt.



Es sei der Einheitskreis und

eine Funktion mit , gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

  1. Zeige, dass durch und

    für eine Funktion auf definiert ist.

  2. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn stetig ist.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges derart, dass im Nullpunkt stetig ist.
  4. Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
  5. Zeige, dass im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
  6. Es sei

    Zeige, dass in jedem Punkt nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.



Es seien und euklidische Vektorräume und

seien Abbildungen auf einer offenen Menge , die in Richtung differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

in Richtung differenzierbar ist, und dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung ,
  7. im Punkt in Richtung ,
  8. im Punkt in Richtung .



Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung .



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion ()

in einem Punkt

in Richtung



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 46.15, dass zu einer polynomialen Funktion

zu einer fixierten Richtung die Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, sei

offen, ein Punkt, ein Vektor und sei

eine Abbildung, die im Punkt in Richtung differenzierbar sei. Zeige, dass auch in Richtung  mit differenzierbar ist und die Beziehung

gilt.



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