Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Minimum der Funktion

${}f(x)=x^{2}+bx+c\,$

in Abhängigkeit von ${}b$ und ${}c$. Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?

Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{5}-\cos \left(x^{3}-y^{2}\right).$

Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\sqrt {x^{2}y^{2}+3}}+x^{3}yz^{2},\,x^{11}-x^{2}y^{3}e^{xz}-\ln \left(x^{2}+y^{2}+x^{4}z^{6}+1\right)\right).$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\left\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Aufgabe *

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für ${}z^{3},z^{4},z^{5}$.

Kommentar:

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ können wir mit ${}\mathbb {R} ^{2}$ identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im ${}\mathbb {R} ^{2}$ interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl ${}z=x+iy\in {\mathbb {C} }$ mit imaginärer Einheit ${}i$, Realteil ${}x\in \mathbb {R}$ und Imaginärteil ${}y\in \mathbb {R}$ entspricht dem Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Die gegebene Abbildung, die von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zu ${}z=x+iy$ ist wegen oben klar, gehört der Punkt ${}(x,y)$. Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir ${}z$ in der Form ${}x+iy$ ein. Dann wird es abgebildet auf

$z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}.$

Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass ${}i^{2}=-1$ ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist ${}x^{2}-y^{2}$ und ihr Imaginärteil ist ${}2xy$. Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$

In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in ${}x$- und ${}y$-Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach ${}x$ abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach ${}y$ abgeleitet. Wir erhalten im Punkt ${}(x,y)$ die Jacobi-Matrix

$\operatorname {Jak} (f)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}$

Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.

 

Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$

die sich mit den beiden Standardrichtungen ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ ausdrücken lassen.

Aufgabe *

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$

${}f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.$

Zeige, dass ${}f$ die Wärmeleitungsgleichung

${}{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion ${}f\colon {\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

In der folgenden Aufgabe ist

${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }\,.$

Die partiellen Ableitungen im komplexen Fall sind wie im reellen Fall zu bestimmen, man verwende die gleichen Regeln für Polynome.

Aufgabe *

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-fach stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Es sei

${}h(t):=f(P+tv)\,.$

Zeige, dass ${}h$ ${}k$-fach stetig differenzierbar ist und dass

${}h^{(k)}(0)=D_{v}\cdots D_{v}f(P)\,$

(mit ${}k$ Richtungsableitungen) gilt.

Aufgabe *

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, so dass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Kommentar:

Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe recht schwierig zu sein. Es ist kaum vorstellbar, dass es unter allen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

nicht doch irgendeine komplizierte Funktion gibt, die die gegebenen partiellen Ableitungen besitzt. Aber deshalb sollten wir nicht aufgeben und uns auf die gegebenen Informationen konzentrieren. Die partiellen Ableitungen sind besondere Funktionen, die uns häufig begegnen. Mit den Werkzeugen aus der Vorlesung öffnet sich uns dadurch der Weg, die Aussage indirekt zu beweisen.

 

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale, ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume ${}G\subseteq V$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine ${}n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von ${}n$ Vektoren aus ${}V$. Zeige, dass dann für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(x,y)$ in Richtung ${}(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor ${}(2,5)$ anwendet.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, so dass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche ${}k$-ten Richtungsableitungen ${}0$ sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$

${}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass

${}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}\,$

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

${}D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,$

gilt.