Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  3. Eine differenzierbare Kurve

    auf einem reellen Intervall .

  4. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.
  6. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  7. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  8. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Formel für die Länge einer Kurve
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  3. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


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