Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 27

Aufgabe

Was hat eine Entfaltung mit einer „Funktionenschar“ zu tun?

Aufgabe

Bestimme die Rechtsäquivalenzklassen in der Entfaltung ${}tx^{n}+(1-t)x^{m}$ mit ${}1=n<m$.

Aufgabe *

Wir betrachten Polynome ${}x^{4}+ux^{2}+vx$ mit Parametern ${}u,v\in {\mathbb {C} }$. Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter ${}u,v$, die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{n}$ mit ${}n\geq 1$. Wir betrachten die Entfaltung ${}x^{n}+w_{n-1}x^{n-1}+w_{n-2}x^{n-2}+\cdots +w_{1}x+w_{0}$ mit dem Deformationsparameter ${}\left(w_{n-1},\,\ldots ,\,w_{0}\right)\in {\mathbb {C} }^{n}$. Zeige, dass man den Term ${}w_{n-1}x^{n-1}$ „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion ${}f_{w}$ vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?

Aufgabe

Es sei ${}E(x,u,v)=x(x-u)(x-v)$, was wir als Entfaltung von ${}x^{3}$ auffassen.

1. Bestimme abhängig von ${}(u,v)\in {\mathbb {C} }^{2}$ die Milnorzahl von ${}f_{(u,v)}=E(-,u,v)$ im Nullpunkt ${}x=0$.
2. Welche Funktionen ${}f_{(u,v)}$ sind rechtsäquivalent zueinander?
3. Skizziere die Situation im (reellen) Parameterraum.

Aufgabe

Untersuche die Funktion ${}XY-T$ als Entfaltung von ${}XY$. Welche deformierten Funktionen sind untereinander rechtsäquivalent?

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige, dass für ${}g\in C$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}\delta (g)=0$.
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ liegt in einer Faser von ${}g$.

Aufgabe

Sei ${}b\geq 3$. Zeige, dass ${}X^{3}+Y^{b}$ zu ${}X^{3}+Y^{b}+X^{4}$ rechtsäquivalent ist.

Aufgabe

Wir betrachten ${}f=X^{4}+Y^{7}$. Für welche der folgenden ${}h$ kann man mit Hilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass ${}f$ und ${}f+h$ rechtsäquivalent sind?

1. ${}h=X^{4}Y^{7}\,,$

2. ${}h=X^{2}Y^{8}\,,$

3. ${}h=5X^{6}-X^{4}Y^{5}-Y^{17}\,,$

4. ${}h=X^{5}+Y^{8}\,.$

   Ist ${}f$ rechtsäquivalent zu ${}X^{4}+Y^{7}+X^{5}+Y^{8}$?