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Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 27

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Was hat eine Entfaltung mit einer „Funktionenschar“ zu tun?



Bestimme die Rechtsäquivalenzklassen in der Entfaltung mit .



Wir betrachten Polynome mit Parametern . Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter , die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.



Es sei mit . Wir betrachten die Entfaltung mit dem Deformationsparameter . Zeige, dass man den Term „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?



Es sei , was wir als Entfaltung von auffassen.

  1. Bestimme abhängig von die Milnorzahl von im Nullpunkt .
  2. Welche Funktionen sind rechtsäquivalent zueinander?
  3. Skizziere die Situation im (reellen) Parameterraum.



Untersuche die Funktion als Entfaltung von . Welche deformierten Funktionen sind untereinander rechtsäquivalent?



Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet. Zeige, dass für folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung liegt in einer Faser von .



Sei . Zeige, dass zu rechtsäquivalent ist.



Wir betrachten . Für welche der folgenden kann man mit Hilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass und rechtsäquivalent sind?

  1. Ist rechtsäquivalent zu ?



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