Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 27

Aufgabe

Was hat eine Entfaltung mit einer „Funktionenschar“ zu tun?

Aufgabe

Bestimme die Rechtsäquivalenzklassen in der Entfaltung $t{x}^n+(1-t)x^m$ mit  $1\le n<m$. 

Aufgabe *

Wir betrachten Polynome $x^4+u{x}^2+vx$ mit Parametern  $u,v\in ℂ$.  Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter $u,v$, die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.

Aufgabe

Es sei  $f(x)=x^n$  mit  $n\ge 1$.  Wir betrachten die Entfaltung $x^n+w_{n-1}{x}^{n-1}+w_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +w_{1}x+w_0$ mit dem Deformationsparameter  $(w_{n-1},\dots ,w_0)\in {ℂ}^n$.  Zeige, dass man den Term $w_{n-1}{x}^{n-1}$ „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion $f_w$ vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?

Aufgabe

Es sei  $E(x,u,v)=x(x-u)(x-v)$,  was wir als Entfaltung von $x^3$ auffassen.

1. Bestimme abhängig von  $(u,v)\in {ℂ}^2$  die Milnorzahl von  $f_{(u,v)}=E(-,u,v)$  im Nullpunkt  $x=0$. 
2. Welche Funktionen $f_{(u,v)}$ sind rechtsäquivalent zueinander?
3. Skizziere die Situation im (reellen) Parameterraum.

Aufgabe

Untersuche die Funktion $XY-T$ als Entfaltung von $XY$. Welche deformierten Funktionen sind untereinander rechtsäquivalent?

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F:V⟶V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei  $C=C^{\mathrm{\infty }}(V,ℝ)$  die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $ℝ$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta ={\delta }_F:C⟶C,g⟼\delta (g),$

mit

$(\delta (g))(P)=\left(D_{F(P)}g\right)\left(P\right).$

Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta (g)$, indem man an einem Punkt  $P\in V$  die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung $F(P)$ berechnet. Zeige, dass für  $g\in C$  folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist  $\delta (g)=0$. 
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung  $y^{\prime }=F(y)$  liegt in einer Faser von $g$.

Aufgabe

Es sei  $b\ge 3$.  Zeige, dass $X^3+Y^b$ zu $X^3+Y^b+X^4$ rechtsäquivalent ist.

Aufgabe

Wir betrachten  $f=X^4+Y^7$.  Für welche der folgenden $h$ kann man mithilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass $f$ und $f+h$ rechtsäquivalent sind?

1. $h=X^4{Y}^7,$

2. $h=X^2{Y}^8,$

3. $h=5X^6-X^4{Y}^5-Y^{17},$

4. $h=X^5+Y^8.$

   Ist $f$ rechtsäquivalent zu $X^4+Y^7+X^5+Y^8$?