Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 26

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir besprechen zuerst algebraische Automorphismen des affinen Raumes und Äquivalenzkonzepte für polynomiale Funktionen und Varietäten. Diese sind sehr viel starrer als die entsprechenden holomorphen Konzepte.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive polynomiale Abbildung

deren Umkehrabbildung nicht polynomial ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein -Algebraautomorphismus

durch mit gegeben ist (also durch eine affin-lineare Variablentransformation).


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung

ein Automorphismus des affinen Raumes ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.


Aufgabe

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über in zwei Variablen. Sei ein Polynom in der einen Variablen . Zeige, dass durch die Einsetzung und ein -Algebraautomorphismus von in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.


Aufgabe

Es sei

ein Automorphismus des affinen Raumes. Zeige, dass die Jacobi-Determinante konstant gleich einem ist.


Aufgabe *

Betrachte

Zeige, dass ein Automorphismus ist, der auf sich selbst abbildet.


Wir notieren zwei Definitionen, die algebraische Versionen der Rechtsäquivalenz sind.


Zwei Polynome

heißen algebraisch rechtsäquivalent, wenn es einen polynomialen Automorphismus

mit gibt.


Es sei ein Punkt einer Varietät und

rationale Funktionen auf , die in einer offenen Umgebung von definiert seien. Man sagt, dass zu rational rechtsäquivalent ist, wenn es offene Mengen und und einen Isomorphismus

mit

gibt.


Aufgabe

Es sei ein lineares Polynom . Zeige, dass und zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.


Aufgabe

Es sei ein Polynom in den Variablen . Zeige, dass und zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.


Aufgabe

Zeige, dass das Polynom , , nicht algebraisch rechtsäquivalent zur Variablen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die beiden Polynome und nicht zueinander rational rechtsäquivalent sind.


Aufgabe

Zeige, dass das Polynom nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Polynom nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ist.


Aufgabe *

Es sei eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann rational rechtsäquivalent zur Variablen ist, wenn es rationale Funktionen derart gibt, dass die Körpergleichheit

gilt.


Die folgende Definition orientiert sich an den Nullstellenmengen, nicht an den Funktionen selbst.


Zwei affin-algebraische Mengen heißen affin-algebraisch äquivalent, wenn es einen Automorphismus des affinen Raumes mit

gibt.


Die folgende Aussage ist analog zu Lemma 26.3.

Aufgabe

Es seien

zueinander affin-algebraisch äquivalente affin-algebraische Mengen mit den Verschwindungsidealen und . Zeige, dass dann die Restklassenringe und zueinander isomorph sind.


In den folgenden Aufgaben wird verwendet, dass man eine Gleichung in den Variablen birational trasformieren kann, indem man und setzt und die Gleichung in den neuen Variablen schreibt. Damit kann man zeigen, dass die ADE-Singularitäten birational zur affinen Ebene sind, dass also ihre Funktionenkörper gleich .

Aufgabe

Zeige, dass die -Singularitäten () birational zu sind (die bei wieder Diedersingularitäten sind). Zeige, dass birational zur affinen Ebene ist und dass birational zu und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist.


Aufgabe

Zeige, dass die -Singularität birational zu , zu , zur -Singularität und damit zur affinen Ebene ist.


Aufgabe

Zeige, dass die -Singularität birational zu , zu , zu und zu ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.


Aufgabe

Zeige, dass die -Singularität birational zu , zu , zu und zu ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen und )

und

die Relation

erfüllen.


Aufgabe

  1. Zeige, dass die Singularität birational zu und zu ist.
  2. Zeige, dass der Quotientenkörper von isomorph zu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Rechtsäquivalenz zwischen holomorphen Funktionen in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Es seien holomorphe Funktionen mit offen und mit . Zeige, dass und genau dann rechtsäquivalent sind, wenn ihre Nullstellenordnung im Nullpunkt übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die zweidimensionalen ADE-Singularitäten nicht untereinander rechtsäquivalent sind.

Bei einem Großteil kann man mit der Milnorzahl argumentieren, ansonsten verwende man die lokale Fundamentalgruppe.

Aufgabe *

Es seien und mit offen, holomorphe Funktionen mit in den Variablen bzw. Es sei

eine biholomorphe Abbildung mit und offen und mit und mit

Zeige, dass dann die -Untermatrix der Jacobi-Matrix zu im Nullpunkt invertierbar ist.



<< | Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)