Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 28

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Aufgabe

Es sei

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 14.4.

Aufgabe

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion mit . Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl äquivalent sind.

  1. ist eine -fache Nullstelle von .
  2. Es ist mit nullstellenfrei im Nullpunkt.
  3. Das Jacobiideal zu in ist .
  4. Die Milnorzahl zu im Nullpunkt ist .
  5. ist -bestimmt, aber nicht -bestimmt.


Aufgabe

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion mit . Zeige, das folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist ein regulärer Punkt von .
  2. Das Jacobiideal zu in ist das Einheitsideal.
  3. ist -bestimmt


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion -bestimmt ist.


Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

mit Hilfe von Satz 28.2.


Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

mit Hilfe von Satz 28.2.


Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

mit Hilfe von Satz 28.2.


Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

mit Hilfe von Satz 28.2.


Bei der folgenden Aufgabe denke man auch an Satz 14.8.

Aufgabe

Es sei holomorph mit offen und einer isolierten Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass man Satz 28.2 in dieser Situation anwenden kann.


Aufgabe

Es definiere eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem Jacobiideal zu und dem maximalen Ideal gelte die Beziehung mit .

  1. Zeige, dass die Milnorzahl von kleinergleich ist.
  2. Zeige, dass -bestimmt ist.


Aufgabe

Zeige, dass man für die Funktion

Satz 28.2 nicht anwenden kann.


Aufgabe

Zeige, dass rechtsäquivalent zu ist. Führe explizit eine polynomiale Variablentransformation durch.


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