Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 28

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Endliche Bestimmtheit

Eine holomorphe Funktion , offen, besitzt im Nullpunkt eine Taylorentwicklung, die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form

Die abgebrochene Taylorentwicklung

heißt das Taylorpolynom von der Ordnung . Wir bezeichnen es mit . Wenn wir, wie häufig, voraussetzen, so ist

und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer sein soll, so ist

Wenn für zwei holomorphe Funktionen und die Taylorpolynome der Ordnung übereinstimmen (was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist), so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen.


Definition  

Eine holomorphe Funktion , offen, heißt -bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion mit

bereits zu rechtsäquivalent ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Mather.



Satz  

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring die Beziehung

gelte, wobei das Jacobiideal bezeichne und eine natürliche Zahl ist.

Dann ist -bestimmt.

Beweis  

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion , deren Taylorentwicklung der Ordnung mit der Taylorentwicklung der Ordnung von übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu ist. Wir können als mit

ansetzen. Wir wollen Lemma 27.8 verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion

für und müssen in den lokalen Ringen zu (die wir unabhängig von mit bezeichnen) die Zugehörigkeit

nachweisen. Wir setzen

und

und betrachten diese Ideale in , das maximale Ideal von sei mit bezeichnet. Es ist

Die Voraussetzung

gilt entsprechend auch in , also ergibt sich

Mit

und

gilt

Mit dem Lemma von Nakayama folgt und insbesondere

Somit gilt .


Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle.



Korollar  

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring die Beziehung

gelte, wobei das Jacobiideal bezeichne und eine positive natürliche Zahl ist.

Dann ist -bestimmt.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 28.2 durch beidseitige Multiplikation mit .




Korollar  

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring die Beziehung

gelte, wobei das Jacobiideal bezeichne und eine natürliche Zahl ist.

Dann ist -bestimmt.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 28.2 durch beidseitige Multiplikation mit .



Satz  

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion mit einer nichtausgearteten isolierten Singularität im Nullpunkt.

Dann ist rechtsäquivalent zur Quadrik .

Beweis  

Wegen nichtausgeartet ist nach Lemma 14.14 das Jacobiideal zu gleich dem maximalen Ideal . Nach Korollar 28.3 ist -bestimmt, also rechtsäquivalent zu seinem Taylorpolynom der Ordnung . Dieses kann man linear zur Standardquadrik transformieren.



Satz

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion mit einem kritischen Punkt im Nullpunkt. Der Rang der Hesse-Matrix zu sei .

Dann ist rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

mit und wobei nur von den Variablen abhängt.

Beweis

Dies wird ähnlich wie Satz 28.5 bewiesen, ist aber aufwändiger.




Satz  

Es seien , offen, holomorphe Funktionen mit in den Variablen . Sei .

Dann sind und genau dann zueinander rechtsäquivalent, wenn und zueinander rechtsäquivalent (als Funktionskeime in Variablen) sind.

Beweis  

Wenn und zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung auf offenen Umgebungen der in mit , und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen und fortsetzen, die zeigt, dass auch und rechtsäquivalent sind.

Es seien nun und zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen , , der und eine biholomorphe Abbildung

mit (wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen). Es liegt also das kommutative Diagramm

vor. Unter entspricht der Unterraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit . Für einen Punkt gilt wegen der speziellen Gestalt von bzw. und der Kettenregel für jedes

Mit Hilfe der -Matrix

können wir diese Gleichungen als

schreiben. Die Matrix ist nach Aufgabe 26.25 im Nullpunkt invertierbar. Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für invertierbar. Es gilt also

mit der von abhängigen inversen Matrix . Somit sind die als Linearkombinationen der darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den .



Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den . Daher können wir Lemma 27.9 anwenden und erhalten, dass und rechtsäquivlent ist.



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