Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5/kontrolle

Verknüpfungen

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit dem Betrag der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \vert {a-b}\vert .$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,S\right)}\,$

sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche ${}F\in M$ gibt es ein inverses Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

${}M={\left\{F:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$

Benenne die Elemente aus ${}M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf ${}M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$\star \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\star y.$

Definiere auf der Abbildungsmenge

$\operatorname {Abb} \,(I,M)={\left\{F:I\rightarrow M\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}$

eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und

$F\colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto F(x,y),$

eine Verknüpfung. Formuliere verschiedene Verknüpfungseigenschaften in dieser (unüblichen) Notation.

Aufgaben zu Peano-Axiomen

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, das zwei Mengen ${}\mathbb {N} _{1}$ und ${}\mathbb {N} _{2}$, die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung ${}\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {N} _{2}$ an, die ${}0_{1}$ in ${}0_{2}$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element ${}n\in {\mathbb {N} }$, ${}n\neq 0$, einen Vorgänger besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathbb {N} }$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Addition auf ${}{\mathbb {N} }$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und ${}0$ als neutrales Element besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {N}$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie ${}1:=0'$ als neutrales Element besitzt.

Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 10 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die übliche Addition und Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen (also das schriftliche Addieren und Multiplizieren durch gewisse Ziffernmanipulationen im Zehnersystem) korrekt ist.

Induktionsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere das Induktionsprinzip für Aussagen quantorenlogisch.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.

1. ${}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,,$

2. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$

3. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)}^{2}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe eine Formel an für die Differenz zwischen der Summe der ersten ${}n$ geraden Kubikzahlen und der Summe der ersten ${}n$ ungeraden Kubikzahlen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme ${}n=3$ die Beziehung

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Folge ${}a_{n},\,n\in \mathbb {N}$, sei rekursiv durch

$a_{1}=1{\text{ und }}a_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}ka_{k}{\text{ für }}n\geq 2$

definiert. Zeige, dass für ${}n\geq 2$

${}a_{n}={\frac {1}{2}}n!\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Abschätzung

${}1\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}\leq n^{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Aufgabe * Aufgabe 5.21 ändern

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$

Rechne dies explizit für ${}n\leq 6$ nach.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P$ die Potenzmenge von ${}M$. Betrachte die Relation ${}T$ auf ${}P$, die durch

$T(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\subseteq B$

gegeben ist (dabei sind also ${}A$ und ${}B$ Teilmengen von ${}M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn ${}M$ ${}n$ Elemente besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P$ die Potenzmenge von ${}M$. Betrachte die Relation ${}D$ auf ${}P$, die durch

$D(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\cap B=\emptyset$

gegeben ist (dabei sind also ${}A$ und ${}B$ Teilmengen von ${}M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn ${}M$ ${}n$ Elemente besitzt.